Demuestre que dos de$\frac{2}{a}+\frac{3}{b}+\frac{6}{c}\geq 6,\frac{2}{b}+\frac{3}{c}+\frac{6}{a}\geq 6,\frac{2}{c}+\frac{3}{a}+\frac{6}{b}\geq 6$ son Verdaderos

Question

si $a,b,c$ son números reales positivos que $a+b+c\geq abc$, Demuestran que, al menos, $2$ de las siguientes desigualdades son verdaderas.

$\frac{2}{a}+\frac{3}{b}+\frac{6}{c}\geq 6, \space\space\space\space\frac{2}{b}+\frac{3}{c}+\frac{6}{a}\geq 6, \space\space\space\space\frac{2}{c}+\frac{3}{a}+\frac{6}{b}\geq 6$

Información adicional: La Prueba debe ser por la contradicción.podemos utilizar Cauchy , AM-GM y otras simples de las desigualdades.

Cosas que he hecho hasta ahora: no tengo idea de completar para este Problema.Creo

que para comenzar con el paso debería probar al menos una de esas desigualdades son verdaderas.

Así que, supongo que eso $\frac{2}{a}+\frac{3}{b}+\frac{6}{c}< 6, \space\space\space\space\frac{2}{b}+\frac{3}{c}+\frac{6}{a}< 6, \space\space\space\space\frac{2}{c}+\frac{3}{a}+\frac{6}{b}<6$ .Sumando los

las desigualdades nos da: $$\frac{11}{a}+\frac{11}{b}+\frac{11}{c}<18$$

el uso de Cauchy y $a+b+c\geq abc$ I:$$ab+bc+ac\geq9$$ Así que puede volver a escribir la Anterior desigualdad como: $$\frac{99}{abc}<18$$

Y me quedé aquí.

ACTUALIZACIÓN

Gracias a user169478 ayuda, hemos demostrado que al menos una de estas desigualdades es cierto.Así que el resto es para demostrar que si uno de estos 3 es verdadero, el otro es la verdadera. Así que cualquier sugerencia para el inicio de esta parte es de agradecer.

Como se Probó que al menos uno de los 3 de las desigualdades es cierto, supongo que los $\frac{2}{a}+\frac{3}{b}+\frac{6}{c}\geq 6$ es cierto. Ahora vamos a suponer que $\frac{2}{b}+\frac{3}{c}+\frac{6}{a}< 6$$\frac{2}{c}+\frac{3}{a}+\frac{6}{b}<6$.Así que podemos decir $$\frac{8}{b}+\frac{5}{c}+\frac{9}{a}<12$$

Tenemos $\frac{2}{a}+\frac{3}{b}+\frac{6}{c}\geq 6$, de Modo que podemos volver a escribir la última desigualdad como $$\frac{7}{a}+\frac{5}{b}-\frac{1}{c}<6$$

y me quedé a probar esta desigualdad es falsa.

Answer 1

Set $x=\frac{1}{a}, y=\frac{1}{b}, z=\frac{1}{c}$. Así que tenemos $xy+yz+xz\geq1$ debido a $a+b+c\geq abc$

Suponiendo que todas las tres desigualdades son falsas, como lo hizo, obtenemos $11(x+y+z)<18$. Pero

$$(x+y+z)^2\geq3(xy+yz+xz) \Rightarrow x+y+z\geq\sqrt{3} \Rightarrow 11(x+y+z)\geq11\sqrt{3}>18$$

Tenemos una contradicción.

Ahora supongamos que sólo uno de ellos es verdadero. Suponga que $2z+3x+6y\geq6$ es cierto. Entonces $$2x+3y+6z<6 \Rightarrow4x^2+9y^2+36z^2+12xy+36yz+24xz<36 \etiqueta{*}$$

Desde $xy+yz+xz\geq1$ y el uso de $*$ ,obtenemos $$4x^2+9y^2+36z^2+12xy+36yz+24xz<36(xy+yz+xz)$$

Así $$4x^2+9y^2+36z^2-24xy-12xz<0 \tag{1}$$

Y usando el mismo proceso, de $2y+3z+6x<6$ obtenemos $$4y^2+9z^2+36x^2-24yz-12xy<0 \tag{2}$$

Resumir $(1)$$(2)$ , obtenemos $$40x^2+13y^2+45z^2-36xy-12xz-24yz<0$$

que es equivalente a $$9(2x-y)^2+4(y-3z)^2+(3z-2x)^2<0$$

Tenemos una contradicción de nuevo. Así que podemos concluir que al menos dos de las desigualdades son verdaderas.

Answer 2

Esta es una "fuerza brutal" de la solución con la ayuda de WolframAlpha. Esperemos que alguien más le dará una forma más elegante de la prueba posterior.

Set$x=\frac{1}{a}, y=\frac{1}{b}, z=\frac{1}{c}$, $xy+yz+xz\geq1$ debido a $a+b+c\geq abc$

Podemos suponer, w.l.o.g, que $x\leq y \leq z$. Por lo tanto, por el reordenamiento inqeuality, $2x + 3y + 6z$ es la más grande entre las tres sumas. Puesto que ya ha demostrado que al menos uno de los tres es de no menos de 6, tenemos el $2x + 3y + 6z \geq 6$.

Si $y \geq 1$, luego tenemos a $2z + 3x + 6y \geq 6$ gratis, por lo tanto llegar a la conclusión.

Luego nos condiser el caso al $x\leq y < 1$. Supongamos $x= 1-a, y = 1-b$$0\leq b\leq a \leq 1$.

Si $2y +3z + 6x < 6$$2z + 3x +6y < 6$, tenemos $$2 + 3z < 6a + 2b$$ $$2z + 3 < 3a + 6b$$ i.e.$$z < \frac{6a + 2b-2}{3}$$ $$z <\frac{3a + 6b-3}{2}$$.

Enchufe $x=1-a,y=1-b$$xy+yz+za \geq 1$, obtenemos $z\geq\frac{a+b-ab}{2-a-b}$.

Así tenemos $$\frac{6a + 2b-2}{3} > \frac{a+b-ab}{2-a-b}$$ $$\frac{3a + 6b-3}{2} > \frac{a+b-ab}{2-a-b}$$

es decir,$$6a^2 +2b^2+5ab -11a-3b+4 <0$$ $$3a^2+6b^2+7ab -7a-13b+6<0$$.

Dibujar estas dos curvas en WolframAlpha, obtenemos esto.

Por lo tanto, tenemos la conclusión.