Inverso de la suma de matrices

Question

Tengo dos matrices cuadradas: $A$ y $B$. Se conoce $A^{-1}$ y quiero calcular $(A+B)^{-1}$. ¿Existen teoremas que ayuden a calcular la inversa de la suma de matrices? En general, $B^{-1}$ no se conoce, pero si es necesario, se puede asumir que $B^{-1}$ también se conoce.

Answer 1

En general, $A+B$ no siempre tiene que ser invertible, incluso cuando $A$ y $B$ lo son. Pero uno podría preguntarse si se puede tener una fórmula bajo la suposición adicional de que $A+B$ es invertible.

Como señaló Adrián Barquero, existe un artículo de Ken Miller publicado en la revista Mathematics Magazine en 1981 que aborda esto.

Él demuestra lo siguiente:

Lema. Si $A$ y $A+B$ son invertibles, y $B$ tiene rango $1$, entonces sea $g=\operatorname{trace}(BA^{-1})$. Entonces $g\neq -1$ y $$(A+B)^{-1} = A^{-1} - \frac{1}{1+g}A^{-1}BA^{-1}.$$

A partir de este lema, podemos tomar un $A+B$ general que sea invertible y escribirlo como $A+B = A + B_1+B_2+\cdots+B_r$, donde cada $B_i$ tiene rango $1$ y tal que cada $A+B_1+\cdots+B_k$ es invertible (dicha descomposición siempre existe si $A+B$ es invertible y $\mathrm{rank}(B)=r$). Entonces se obtiene:

Teorema. Sean $A$ y $A+B$ matrices no singulares, y sea $B$ de rango $r\gt 0$. Sea $B=B_1+\cdots+B_r$, donde cada $B_i$ tiene rango $1$, y cada $C_{k+1} = A+B_1+\cdots+B_k$ es no singular. Tomando $C_1 = A$, entonces $$C_{k+1}^{-1} = C_{k}^{-1} - g_kC_k^{-1}B_kC_k^{-1}$$ donde $g_k = \frac{1}{1 + \operatorname{trace}(C_k^{-1}B_k)}$. En particular, $$(A+B)^{-1} = C_r^{-1} - g_rC_r^{-1}B_rC_r^{-1}.$$

(Si el rango de $B$ es $0$, entonces $B=0$, por lo que $(A+B)^{-1}=A^{-1}$).

Answer 2

Se muestra en Sobre la derivación del inverso de la suma de matrices que

$(A+B)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}B(A+B)^{-1}$.

Esta ecuación no puede ser utilizada para calcular $(A+B)^{-1}$, pero es útil para el análisis de perturbaciones donde $B$ es una perturbación de $A$. Hay varias otras variaciones de la forma anterior (ver ecuaciones (22)-(26) en este documento).

Este resultado es bueno porque solo requiere que $A$ y $A+B$ sean no singulares. En comparación, la identidad SMW o el artículo de Ken Miller (como se menciona en las otras respuestas) requiere algunas condiciones de no singularidad o rango de $B$.

Answer 3

$(A+B)^{-1} = A^{-1} - A^{-1}BA^{-1} + A^{-1}BA^{-1}BA^{-1} - A^{-1}BA^{-1}BA^{-1}BA^{-1} + \cdots$

si $\|A^{-1}B\|<1$ o $\|BA^{-1}\| < 1$ (aquí $\|\cdot\|$ significa norma). Esta es simplemente la expansión de Taylor de la función de inversión junto con información básica sobre convergencia.

(publicado prácticamente al mismo tiempo que mjqxxx)

Answer 4

Esto lo encontré accidentalmente.

Supongamos que se dan $A$ y $B$, donde $A$ y $A+B$ son invertibles. Ahora queremos conocer la expresión de $(A+B)^{-1}$ sin imponer el inverso completo. Ahora seguimos la intuición de esta manera. Supongamos que podemos expresar $(A+B)^{-1} = A^{-1} + X$, a continuación presentaremos un método simple y directo para calcular $X$ $$\begin{equation} (A+B)^{-1} = A^{-1} + X \end{equation}$$ $$\begin{equation} (A^{-1} + X) (A + B) = I \end{equation}$$ $$\begin{equation} A^{-1} A + X A + A^{-1} B + X B = I \end{equation}$$ $$\begin{equation} X(A + B) = - A^{-1} B \end{equation}$$ \begin{equation} X = - A^{-1} B ( A + B)^{-1} \end{equation> \begin{equation> X = - A^{-1} B (A^{-1} + X) \begin{equation} (I + A^{-1}B) X = - A^{-1} B A^{-1} \end{equation> \begin{equation> X = - (I + A^{-1}B)^{-1} A^{-1} B A^{-1}

Este lema es una simplificación del lema presentado por Ken Miller, 1981

Answer 5

Me sorprende que nadie se dé cuenta de que es un caso especial de la bien conocida lema de inversa de matriz o [identidad de matriz de Woodbury], dice,

$\left(A+UCV \right)^{-1} = A^{-1} - A^{-1}U \left(C^{-1}+VA^{-1}U \right)^{-1} VA^{-1}$ ,

solo configura U=V=I, inmediatamente obtiene

$\left(A+C \right)^{-1} = A^{-1} - A^{-1} \left(C^{-1}+A^{-1} \right)^{-1} A^{-1}$ .