Demostrar la existencia de $c$ tal que $f(x)\ge c g(x)$

Question

Dejemos que $f$ y $g$ sean funciones continuas no negativas sobre $[0,1]$ tal que $f(x)>g(x)$ para todos $x$ en $[0,1]$ . Demuestre que existe una constante $c>1$ tal que para todo $x$ en $[0,1]$ tenemos $f(x)\ge c g(x)$ .

Intenté utilizar el hecho de que desde $[0,1]$ es compacto y $f$ y $g$ son continuos $f$ y $g$ cada uno alcanza un máximo y un mínimo en $[0,1]$ pero no me llevó a ninguna parte. ¿Alguien sabe cómo probar esto?

Answer 1

Tome $h(x)=\frac{g(x)}{f(x)}$ . Esta función es continua y está bien definida porque $f(x)>g(x)\geq 0$ .

Pero lo anterior dice que $h(x)<1$ para todos $x$ . Entonces $h$ tiene un máximo, $m$ y es menor que $1$ . Tenemos que $\frac{g(x)}{f(x)}\leq m$ y por lo tanto $m\cdot f(x)\geq g(x)$ . Tome $c=\frac1m$ entonces $c>1$ y tenemos $f(x)\geq c\cdot g(x)$ .

Answer 2

Desde $f(x) >g(x) \geq 0$ sabes que $f(x) \neq 0$ .

Entonces la función $\frac{g(x)}{f(x)}$ es continua en $[0,1]$ y así alcanza su máximo.

Dejemos que $N$ sea su máximo, y que $x_0$ sea el punto en el que se alcanza. Entonces

$$N=\frac{g(x_0)}{f(x_o)} <1$$

y como $N$ es el máximo

$$f(x)\geq \frac{1}{N} g(x) \,.$$

Answer 3

Editar: La función $f(x)-g(x)$ es continua en $[0,1]$ y estrictamente positivo, por lo que alcanza un mínimo $k_1>0$ . La función $g(x)$ también es continua en este intervalo, y alcanza un máximo $k_2\geq 0$ . Si $k_2=0$ entonces $g(x)=0$ y el problema es trivial, así que supongamos que $k_2>0$ . Teniendo en cuenta este máximo y este mínimo, consideremos la función

$$h(x)=f(x)-\left(1+\frac{k_1}{2k_2}\right)g(x).$$

¿Qué podemos decir sobre su mínimo en $[0,1]$ ?

Answer 4

Set $\epsilon>0$ y $$ C=\left(1+\epsilon\right)>0 $$ Tenga en cuenta que $\epsilon\cdot g(x)>0$ y \begin{align} f(x)-C\cdot g(x)= & f(x)-\left(1+\epsilon\right)\cdot g(x) \\ = & f(x)-g(x)+\epsilon\cdot g(x) \\ > & \epsilon\cdot g(x) \\ > & 0 \end{align}

Answer 5

Una pista:

Dejemos que $A = \{x \mid g(x) \neq 0\}$ . Establecer $c = \inf_{x \in A} \frac{f(x)}{g(x)}$ .