Digamos que para el problema siguiente, suponga que el límite de$\Omega$ es$C^{1,1}$: $$ \ left \ {\begin{aligned} -\Delta \phi &= \mathrm{div} \,\vec{u}\quad \text{ in } \Omega \\ \phi&=0 \quad \text{ on }\partial \Omega \end {aligned} \ right. $$ ¿Podríamos deducir$\nabla \phi\cdot \vec{n}$ on$\partial \Omega$ por el siguiente razonamiento? Multiplicar una función de prueba$v\in H^1(\Omega)$ y haciendo la integración por partes tenemos: $$ \ int _ {\ Omega} \ nabla \ phi \ cdot \ nabla v - \ int _ {\ partial \ Omega} (\ nabla \ phi \ Cdot \ vec {n}) \, v = - \ int _ {\ Omega} \ vec {u} \ cdot \ nabla v \ int _ {\ partial \ Omega} ) \, V $$ ¿Podríamos decir que por la arbitrariedad de$v$ que$\nabla \phi\cdot \vec{n} = -\vec{u}\cdot \vec{n}$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Creo que tienes las señales equivocadas. (No han hecho daño a deletrear la integración por partes).
No, usted no puede deducir esto de la arbitrariedad de $v$, debido a $\nabla v$ no es independiente de $v$. También, usted no, como sugiere el título, deducir el Neumann datos de límite de la Dirichlet límite de datos; se trató de sacar de la ecuación diferencial (al menos yo no veo donde se utiliza $\phi=0$). Que no puede trabajar, ya que el límite de datos no están determinadas por la ecuación diferencial.
Otra forma de ver que esto no puede ser cierto es que la solenoidal (divergencia) parte de $\vec u$ no entra en la ecuación, mientras que lo hace entrar en la condición de contorno se deduce.
En otro sentido, sin embargo, el Neumann límite de datos son de hecho determinado por la Dirichlet límite de datos, ya que ambos determinan y son determinadas por la solución (hasta una constante aditiva).
