Forma eficiente de decir un subconjunto $A$ de un espacio métrico $X$ es compacto implica que A está acotado

Question

¿Puede alguien dar una respuesta de una línea por qué un conjunto $A \subset X$ ser compacto implica que está acotado. Me imagino que podríamos tomar el cierre de $A$ y cada $x \in A$ estaría contenida en este conjunto. ¿Es esto correcto? ¿Y hay una forma más "bonita" de decirlo (en una frase)?

Answer 1

Fijar $a\in A$ y considerar la cubierta abierta definida por $B(a,n)=\{x\in X\mid d(a,x)<n\}$ para $n\in\mathbb N$ .

Answer 2

Toma $X$ -bolas de radio $1$ alrededor de cada punto de $A$ y luego tomar una subcubierta finita de la misma.