Demostrar que la línea proyectiva real no puede ser incrustada en el espacio euclidiano

Question

El verdadero proyectiva de la línea de $RP^1$ ser embebido en $\mathbb{R}^n$ cualquier $n$?

Al principio, pensé que podía porque $RP^2$ puede ser incrustado en las cuatro dimensiones del espacio, y $RP^1$ parecía un simple objeto para tratar de $RP^2$. Pero después de dibujar diagramas y tratando de encontrar una incrustación, me estoy volviendo menos y menos seguro de que puede ser incrustado... unrigorously siempre parece exigir que el punto en el infinito " que trata de decir el punto de compactification de $\mathbb{R}$, por lo que hay una manera en la que podría probar esto de una manera o de la otra?

Answer 1

Bueno,$\mathbb{R}P^1$ es un subespacio de$\mathbb{R}P^2$ (es decir, cualquier línea proyectiva en el plano proyectivo), así como$\mathbb{R}P^2$ se incrusta en$\mathbb{R}^4$ . Pero en realidad, puedes hacerlo mejor:$\mathbb{R}P^1$ es sólo un círculo, por lo que se incrusta en$\mathbb{R}P^1$. De hecho, si quita un punto de un círculo, el espacio resultante es homeomorfo a$\mathbb{R}^2$, por lo que un círculo es la compactación de 1 punto de$\mathbb{R}$ y por lo tanto homeomorfo a$\mathbb{R}$.

Answer 2

En lugar de mil palabras, aquí está una incorporación de la línea proyectiva real (el conjunto de líneas en el plano a través del origen) en el plano cartesiano:

Answer 3

$\mathbb{R}P^1$ Es solo el círculo$S^1$ y esto no se puede incrustar en los reales: un subconjunto conectado infinito de$\mathbb{R}$ (es un intervalo así) siempre tiene un punto de corte Quitar para dejar un subconjunto desconectado), y el círculo permanece conectado si quitar cualquier punto.