De Euler-Maclaurin de la fórmula y de Riemann-Roch

Question

Deje $Df$ denotar la derivada de una función $f(x)$ $\bigtriangledown f=f(x)-f(x-1)$ ser discreto con los derivados. El uso de la expansión en series de Taylor para $f(x-1)$, podemos llegar fácilmente a $\bigtriangledown = 1- e^{-D}$ o, por tomar los inversos, $$ \frac{1}{\bigtriangledown} = \frac{1}{1-e^{-D}} = \frac{1}{D}\cdot \frac{D}{1-e^{-D}}= \frac{1}{D} + \frac12+ \sum_{k=1}^{\infty} B_{2k}\frac{D^{2k-1}}{(2k)!} ,$$ donde $B_{2k}$ son los números de Bernoulli.

(Edit: he corregido las señales a que se adhieran a la más común de las convenciones.)

Aquí, $(1/D)g$ es la opuesta a la derivada, es decir, la integral; la adición de los límites de este se convierte en una integral definida,$\int_0^n g(x)dx$. Y $(1/\bigtriangledown)g$ es la opuesta a la discreta derivados, es decir, la suma de $\sum_{x=1}^n g(x)$. Por lo que la fórmula anterior, conocido como el de Euler-Maclaurin fórmula, permite que uno, a veces, para calcular la discreta suma mediante el uso de la integral definida, y algunos de los términos de error.

Por lo general, no es un trivial resto en esta fórmula. Por ejemplo, para $g(x)=1/x$, el resto es la constante de Euler $\gamma\simeq 0.57$. La estimación del resto y el análisis de la convergencia de la energía de la serie es una larga historia, que se explica, por ejemplo, en el buen libro "Concreto de las Matemáticas" de Graham-Knuth-Patashnik. Pero el poder de la serie se convierte en finito con cero resto si $g(x)$ es un polinomio. OK, hasta ahora sólo estoy recordando la combinatoria elemental.

Ahora, para mi pregunta. En el (Hirzebruch/Grothendieck)-Riemann-Roch de la fórmula uno de los ingredientes principales es el de Todd clase que se define como el producto, pasando por encima de Chern raíces $\alpha$, de la expresión $\frac{\alpha}{1-e^{-\alpha}}$. Esto se ve de manera similar a la anterior, y de manera sugerente (sobre todo porque en el Hirzebruch la versión $$\chi(X,F) = h^0(F)-h^1(F)+\dots = \int_X ch(F) Td(T_X)$$ también hay un "integral", al menos en la notación) que hace que me pregunte: ¿hay una conexión?

El caso evidente de intentar (que no es el caso cuando se $X=\mathbb P^n$$F=\mathcal O(d)$. Pero la prueba usual en este caso es un residuo de la computación que, a mis ojos, no se parece en nada a Euler-Maclaurin de la fórmula.

Pero ¿realmente hay una conexión?

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Una edición después de muchas respuestas: Aunque la conexión con Khovanskii-Pukhlikov del papel y el consiguiente trabajo, señaló Dmitri y otros, es innegable, aún no es evidente cómo la costumbre de Riemann-Roch para $X=\mathbb P^n$ $F=\mathcal O(d)$ sigue de ellos. Parece que uno tiene que probar la siguiente trivial

Identidad: El coeficiente de $x^n$ $Td(x)^{n+1}e^{dx}$ es igual a $$\frac{1}{n!} Td(\partial /\partial h_0) \dots Td(\partial /\partial h_n) (d+h_0+\dots + h_n)^n |_{h_0=\dots h_n=0}$$

Una completa respuesta a mi pregunta iba a ser una prueba de su identidad, o una referencia al lugar donde este se muestra. (Yo no la encuentro en los citados documentos.) He quitado la aceptación para fomentar una explicación más completa.

Answer 1

Como tengo entendido que esta conexión se observó (y generalizada) por Khovanskii y Puhlikov en el artículo

A. G. Khovanskii y A. V. Pukhlikov, Una de Riemann-Roch teorema para las integrales y sumas de quasipolynomials más virtual polytopes, Álgebra y Análisis 4 (1992), 188-216, la traducción en San Petersburgo Matemáticas. J. (1993), no. 4, 789-812.

Esto está relacionado con tóricas de la geometría, por lo que algunos realmente bien escrito introducción de los artículos contenidos en la página de David Cox http://www3.amherst.edu/~dacox/

Desde 1992 a muchas personas escribieron sobre este tema, por ejemplo

EXACTO EULER DE MACLAURIN FÓRMULAS PARA EL SIMPLE ENTRAMADO POLYTOPES

http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0507/0507572v2.pdf

O sumas de Riemann sobre polytopes http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0608/0608171v1.pdf

Answer 2

De Euler-Maclaurin de la fórmula se transforma la integral de la $I=\int_a^b f(x)dx$ en la suma finita $S=\sum_a^b f(x)$, para dos enteros $a,b$. Como Dmitri señaló, en 1993 Khovanskii y Pukhlikov dio un multi-dimensional de la generalización de Euler-Maclaurin que, en particular, dice lo siguiente:

Deje $P$ $n$- dimensiones polytope en $\mathbb R^n\supset\mathbb Z^n$ integral a los vértices, y suponga que el $P$ define un nonsingular tóricas variedad (es decir, $P$ es simplicial y en cada vértice, la integral de los generadores de los bordes de dar una base en la $\mathbb Z^n$). Digamos las facetas de $P$ son definidos por las desigualdades $l_j(x)\le a_j$ para algunos primitivos integral de las funciones lineales $l_j(x_1,\dots,x_n)$. Denotar por $P(h)$ el polytope definida por las desigualdades $l_j(x)\le a_j+h_j$. Por último, vamos a $$ I(f,h)= \int_{P(h)} f(x)dx, \quad S(f)= \int_{P\cap \mathbb Z^n} f(x).$$ Entonces para cualquier quasipolynomial $f(x)$ (suma de los productos de polinómicas y funciones exponenciales) uno tiene $$ S(f) = \prod_j Td(\partial / \partial h_j)\ I(f,h)\ |_{h_j=0}.$$

Aquí es cómo la Hirzebruch-Riemann-Roch para la gavilla $\mathcal F=\mathcal O(d)$ $X=\mathbb P^n$ sigue de la Khovanskii-Pukhlikov la versión de Euler-Maclaurin de la fórmula:

Tomando $P$ a ser un simplex de lado $d$$f(x)=1$, el Khovanskii-Pukhlikov la fórmula da $$ h^0(\mathbb P^n, \mathcal O(d)) = \prod_{j=0}^n Td(\partial/\partial h_j) \frac{(d+h_0+\dots+h_n)^n}{n!} \ |_{h_j=0}$$ que haciendo una sustitución de $y=d+h_0+\dots+h_n$ se transforma en $Td(\partial/\partial y)^{n+1} (y^n/n!)\ |_{y=d}.$

La costumbre Hirzebruch-Riemann-Roch, por otro lado, dice que $h^0(\mathbb P^n,\mathcal O(d))$ es el coeficiente de $x^n$ en la expresión de $Td(x)^{n+1} e^{dx}$. Entonces, ¿por qué es esta la misma? Porque $$ Td(x)^{n+1} e^{dx} = Td(\partial/ \partial y)^{n+1} e^{yx}\ |_{y=d}$$ (aquí utilizamos el hecho de que $(\partial/ \partial y)^k e^{yx} = x^k e^{yx}$) y el coeficiente de $x^n$$e^{yx}$, se expandió como una potencia de la serie en $x$$(y^n/n!)$. QED

Ahora que no era tan difícil, pero ¿por qué no esta escrito en alguna parte? O me estoy perdiendo una referencia?

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Entonces, ¿qué sugiere esto conceptual sobre el significado de Hirzebruch-Riemann-Roch? Creo que, claramente, se sugiere que

1. El pushforward $$ f_!:K(X)\K(pt)=\mathbb Z, \qquad \mathcal F\mapsto \chi(\mathcal F) = h^0(F)-h^1(F)+\dots$$ entre el K-grupos debe ser considerada la "discreta suma" de una "función" $f=f(\mathcal F)$. De hecho, para decir una tóricas variedad $X$, y una amplia línea de paquete de $\mathcal F$ estamos contando integral de puntos en un polytope $P$. Por lo que cabe.

2. El pushforward $$ f_*: A(X)_Q\to A(pt)_Q=\mathbb Q $$ entre los grupos de Chow debe ser considerada como un "continuo" de la versión, una integral. De hecho, para un ciclo en $X$ su pushforward puede ser interpretado como, y calcula una integral de una diferencial correspondiente formulario. Así que esto tiene perfecto sentido así.

Así que ahora la de Riemann-Roch, = Euler-Maclaurin para esta situación, transforma la integral de la suma, multiplicándolo por el operador diferencial dada por la Todd de la clase. Esto también explica por qué en el RFC Todd clase de $T_X$ aparece y no, digamos, de $\Omega^1_X$. La tangente del paquete es el lugar donde las derivaciones $\partial/\partial z$ vivir.

Answer 3

El año pasado, Leonhard Euler publicó una nota, Encontrar la suma de una serie de término general en el arXiv. En los últimos años, esta idea se ha extendido a las sumas de celosía aproximaciones de convexo polytopes $\Delta \cap \mathbb{Z}^n$, como se muestra en las otras respuestas.

Answer 4

Sí, esta es una gran área de investigación. Voy a añadir algunas referencias a los Dmitri proporciona.

Aquí están las referencias a partir de una pregunta sobre el Momento en el mapa para tóricas de acciones:

• Riemann-Roch para tóricas orbifolds por Victor Guillemin
• para aprender acerca de tóricas de la geometría, el proyecto de un libro Tóricas de Variedades por Cox et al

Más sobre el tema en sí:

• Sumas de Riemann sobre polytopes por Victor Guillemin y Shlomo Sternberg
• Exacto Euler de Maclaurin fórmulas para el simple entramado polytopes por Shlomo Sternberg et al.
• el original en papel por Pukhlikov y Khovanskii (página en inglés, texto completo en ruso)

Una serie de documentos en arXiv por Michèle Vergne, especialmente:

• Los residuos de las fórmulas para los volúmenes y Ehrhart polinomios de convexo polytopes, arXiv:matemáticas/0103097
• Local de Euler-Maclaurin fórmula para polytopes, arXiv:matemáticas/0507256
• Paradan de la pared del cruce de fórmula para las funciones de partición y Khovanski-Pukhlikov operador diferencial

También los papeles de Brion y Vergne, que parecen estar ausentes de arXiv (Google Scholar, gracias a Steve).

Answer 5

Pensé en dar una respuesta explícita que muestra cómo la Todd de la clase aparece. Deje $Td(x) := \frac{x}{1-e^{-x}} = -\sum_{j=0}^\infty B_j \frac{x^j}{j!}$. Ahora para $a,b \in \mathbb{Z}$, $z \in \mathbb{R}$, $|z| << 1$, tenemos que $Td(\partial_h)e^{hz} = -\sum_{j=0}^\infty B_j \frac{\partial_h^{(j)}}{j!}e^{hz} = -\sum_{j=0}^\infty B_j \frac{z^j}{j!}e^{hz} = Td(z)e^{hz}$. Así

$Td(\partial_g)|_{g=0} Td(\partial_h)|_{h=0} \int_{a-g}^{b+h} e^{xz} dx$

$= Td(\partial_g)|_{g=0} Td(\partial_h)|_{h=0} \frac{e^{(b+h)z} - e^{(a-g)z}}{z}$

$= \frac{Td(z)e^{bz} - Td(-z)e^{az}}{z} = \frac{e^{bz}}{1-e^{-z}} + \frac{e^{az}}{1-e^z}$

$= \sum_{k=a}^b e^{kz}$.

Sigue adecuados para las funciones de $f$ (como VA señala más abajo) que $\sum_{k=a}^b f(k) = Td(\partial_g)|_{g=0} Td(\partial_h)|_{h=0} \int_{a-g}^{b+h} f(x) dx$.

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Tan lejos como referencias:

Brion y Vergne dar un buen tratamiento del problema. La clave de su papel está disponible en http://www.jstor.org/pss/2152855

Ewald la introducción de variedades tóricas se lleva a cabo en el contexto de la convexo polytopes y es más concreto que otras (por ejemplo, Fulton): ver http://books.google.com/books?id=bz8SfJId3BgC

[PPS--he utilizado este trabajo para completar una teoría de la estructura para el equilibrio de la hibridación de la termodinámica de ADN de alrededor de 7 u 8 años: consulte La Matriz de Árbol Teorema para Ponderado de los Gráficos.