Componente de trazado del límite directo de espacios topológicos.

Question

Consideramos directa límite de una torre de $X_1\subset\cdots\subset X_n$ de los espacios, donde cada una de las $X_n$ es un subespacio de $X_{n+1}$. El directo de límite es $X_{\infty}:=\cup_n X_n$ dotado de la topología $\mathcal{T}_{\infty}$ define de la siguiente manera: $U\subset X_{\infty}$ es abierto si y sólo si $\forall n\in \Bbb{N},\quad U\cap X_n$ está abierto en $\mathcal{T_n}.$

No tengo ninguna idea para la siguiente pregunta (puedo escribir la definición y así sucesivamente, pero estoy atascado ):

Es cierto si $x$ $y$ están en la misma componente de la ruta de $X_{\infty}$, entonces hay también en el mismo componente de la ruta de $X_{n}$ $n$ lo suficientemente grande?

Definición de componente de trazado de un espacio topológico $Y$ son las clases de equivalencia de la relación de equivalencia en $Y$ definido por $x\sim y$ si y sólo si existe un camino que conecta $x$ $y$

editar Se supone que $X_{\infty}$ es Hausdorff y cada una de las $X_i$ es cerrado en $X_{i+1}$ todos los $i\ge 1$.

Answer 1

Esto es cierto, suponiendo que cada una de las $X_n$ $T_1$ (en particular, asumiendo $X_\infty$ es Hausdorff, como está suponiendo); no sé si es cierto, sin esta suposición. Esto es suficiente para mostrar que si $f:[0,1]\to X_\infty$ es continua, entonces la imagen de a $f$ está contenido en $X_n$ algunos $n$. La imagen de $f$ es compacto, por lo que es suficiente para mostrar que cualquier subconjunto compacto $K\subseteq X_\infty$ está contenido en $X_n$ algunos $n$.

Para demostrarlo, supongamos $K$ no está contenido en $X_n$ cualquier $n$. A continuación, para cada una de las $n$, se puede elegir un punto de $a_n\in K\setminus X_n$. Deje $A$ ser el conjunto de todos estos puntos de $a_n$. Tenga en cuenta que la intersección de a $A$ con cada una de las $X_n$ es finito, y por lo tanto cerrado en $X_n$ (desde $X_n$$T_1$). De ello se desprende que $A$ es cerrado, y por lo que es compacto desde $K$ es compacto y $A\subseteq K$. Pero el mismo argumento también muestra que cualquier subconjunto $B\subseteq A$ está cerrada y, por lo $A$ es discreto. Desde $A$ es discreto y compacto, sino que debe ser finito. Pero cualquier subconjunto finito de $A$ está contenido en $X_n$ algunos $n$ $A$ no está contenido en $X_n$ cualquier $n$ desde $a_n\in A\setminus X_n$. Esta es una contradicción.