¿Este artículo NYT incorrectamente suponer incrementos independientes?

Question

El artículo parcelas de cada 100 mujeres que utilizan un determinado tipo de método anticonceptivo el número de embarazos no planificados a lo largo del tiempo.

https://www.nytimes.com/interactive/2014/09/14/sunday-review/unplanned-pregnancies.html?_r=0

En particular, al final del artículo se dice:

Los números se calculan como sigue:

$ \mathbb P(\text{Not pregnant after year N}) = \mathbb P(\text{Not pregnant after year 1})^N$

De hecho, la tasa de éxito de los métodos anticonceptivos es la probabilidad de que no esté embarazada en el año 1. Ver, por ejemplo, https://www.cdc.gov/reproductivehealth/contraception/unintendedpregnancy/pdf/contraceptive_methods_508.pdf

Esto es cierto si la probabilidad de embarazo en un año es independiente de la del año anterior, pero parece muy poco probable que sea cierto. Si el uso de la anticoncepción de manera incorrecta, es probable que vaya mal en el primer año, y si no, entonces probablemente no va a salir mal el año después?

Answer 1

Lo siento, no puedo estar de acuerdo con la independencia de la asunción. La fertilidad en las mujeres, incluso sin la anticoncepción es una función de la edad, de tal manera que, sin la anticoncepción

Posibilidades de quedar embarazada sin FIV (fertilización in vitro)

Starting at about age 32, a woman's chances of conceiving decrease gradually but significantly.
From age 35, the fertility decline speeds up.
By age 40, fertility has fallen by half.
At 30, the chance of conceiving each month is about 20%. At 40 it's around 5%.
Note (mine) after age ~49 menopause occurs and when it does, women are infertile.

La tasa de embarazo es también una función de la frecuencia de las relaciones sexuales, que también cambia con la edad:

About 5% of single women between the ages of 18 and 24 had sex 4 or more times per week, but 24% of married women did.
Like the men, just under half of the women between the ages of 25 and 59 had sex a few times per month to weekly, more than their single and partnered peers.
Sexual frequency did decrease with age for women, although almost a quarter of partnered women over age 70 had sex more than 4 times a week.

El tiempo relativo de la ovulación, el coito y el femenino edad:

Finalmente, para considerar la efectividad de la anticoncepción sobre una base anualizada, uno debe considerar no sólo la disminución de la fertilidad y de la variable pero, en general, algo disminución de la frecuencia sexual con la edad, pero también una miríada de otros factores. Por ejemplo, el porcentaje de mujeres que son posparto aumenta con la edad, y postpartal las mujeres pueden tener un diferente uso de anticonceptivos de la eficacia de las nulíparas, edad de la pareja en el momento de la relación sexual con respecto a la ovulación, ver imagen:

momento de las relaciones sexuales en relación a la ovulación, teniendo un enorme impacto en la fertilidad, también se refleja en la probabilidad de embarazo, incluso cuando otros factores, como la anticoncepción es considerado. Por lo tanto, una mujer que se basa en el método del ritmo, así como uno o más de los otros métodos de anticoncepción, es decir, una mujer que conoce las funciones de su cuerpo, y utiliza ese conocimiento (y como se adquiere el conocimiento) puede eventualmente hacer cada vez más efectivo para evitar el embarazo, de tal manera que prácticamente no hay oportunidad para la independencia de la fertilidad con transcurrido edad.

Answer 2

He aquí un relato de las probabilidades relevantes para el problema en cuestión.

Denotar por $z_n$ el evento 'no hay embarazo después de $n$ años para una mujer usar algún tipo de anticonceptivo. Entonces $$ P(z_N) = P(z_N | z_{N-1}) P(z_{N-1} | z_{N-2})\cdots P(z_2 | z_1)P(z_1). $$ El problema es que el NYT asume $P(z_i | z_{i-1}) = P(z_1) = p$, para todos los $i$, mientras que a sabiendas de $z_{i-1}$ puede proporcionar evidencia de que la mujer hace un buen uso de el método de anticoncepción y puede ser experimentado con ella. Por lo tanto, debemos esperar que $$ P(z_N | z_{N-1}) > P(z_{N-1} | z_{N-2}) > \cdots > P(z_1). $$ Esto implica $$ P(\text{'en menos de 1 embarazo después de $N$ años'}) < 1-p^n $$ en lugar de la igualdad reclamada por el NYT.

Adenda. (Presentación alternativa de user385948 la respuesta)

Cada mujer $w$ el uso de un determinado tipo de anticonceptivo, entre los $M$ otra mujer, tiene su propia fijo probabilidad de $q_w$ de no conseguir un embarazo no deseado en un año. La tasa promedio de éxito de los métodos anticonceptivos más de un año es $ p =\tfrac{1}{M}\sum_w q_w$. La tasa promedio de éxito después de $N$ años, suponiendo la año-a-año de la independencia, es $\tfrac{1}{M}\sum_w q_w^N$. Sin embargo, $$ \tfrac{1}{M}\sum_w q_w^N \geq \left(\tfrac{1}{M}\sum_w q_w\right)^N = p^N, $$ por la desigualdad de Jensen, con igualdad si y sólo si $q_w$ es constante a lo largo de $w$.

Por lo tanto, en promedio, en general stricly menos de $(1-p^{10})\times 100$ mujer en un cien tendrán un embarazo no deseado durante un período de 10 años.

Answer 3

A partir de una probabilist punto de vista, yo esperaría que $$ \mathbb P(\text{Not pregnant after year N}) \geq \mathbb P(\text{Not pregnant after year 1})^N.$$ Esta expectativa está motivado de la siguiente manera. Suponga que en el tiempo de $t=0$, a cada mujer se le asigna un (potencialmente diferente) número de $p\in[0,1]$, la probabilidad de quedar embarazada en el primer año. Si ella no quedar embarazada después de $k$ años, entonces la probabilidad de que ella se queda embarazada en el $k+1$-ésimo año nuevo es $p$. A continuación, $1-\mathbb{E}p$ es exactamente $$\mathbb P(\text{Not pregnant after year 1}).$$ Queremos demostrar que $$\mathbb P(\text{Not pregnant after year 1})^N$$ es un límite inferior para $$\mathbb P(\text{Not pregnant after year N}).$$ Pero, dado el número de mujeres y $$1-\mathbb{E}p=\mathbb P(\text{Not pregnant after year 1}),$$ podemos optimizar los valores de $p$ de las mujeres de minimizar $$\mathbb P(\text{Not pregnant after year N}).$$ Hay un mínimo global, es "asignar $p' =\mathbb{E} p$ a cualquier mujer" ($p'$ es determinista), y para este mínimo tenemos igualdad (porque, de hecho, todo lo que es independiente). La desigualdad, a continuación, de la siguiente manera. Para ilustrar esto con un ejemplo, supongamos que tenemos dos mujeres, habiendo $p=0$$p=1$. Entonces $$\frac{1}{2}=\mathbb P(\text{Not pregnant after year N})>\mathbb P(\text{Not pregnant after year 1})^N =\frac{1}{2^N}$$ para $N>1$.