¿Hace esta variante en Rolle ' Teorema de s tienen un nombre?

Question

El siguiente parece ser cierto:

Supongamos $f : (a,b) \rightarrow \mathbb{R}$ es continuamente diferenciable. A continuación, $$|x \in (a,b):f(x) = 0| \leq |x\in (a,b):f'(x) = 0|+1.$$

(Por $|x \in X : P|$, sólo quiero decir que el número de $x \in X$ satisfacción $P$. Esto puede ser visto como la taquigrafía para el más largo aliento $|\{x \in X : P\}|$.)

Estoy teniendo problemas para formalizar los detalles, pero la prueba es, básicamente, por el teorema de Rolle. Desde $f$ es continuo, hay dos casos:

• Los ceros de $f$ están aisladas unas de otras.
• Existe un no-vacío intervalo abierto en el que $f$ es cero.

En el segundo caso, tanto de la LHS y RHS se $|\mathbb{R}|$, así que hemos terminado. Para asumir los ceros de $f$ están aisladas unas de otras. Luego de que en repetidas ocasiones que aplicar el teorema de Rolle para llegar de un punto fijo de $f$ por cada raíz de $f$ más allá de la primera. Esa es la idea.

De todos modos, sólo me preguntaba si este resultado tiene un nombre? Es básicamente el mismo que el teorema de Rolle, pero quizás un poco más fácil para los jóvenes a entender y utilizar. Por ejemplo, supongamos que queremos demostrar que $\sqrt{2}$ se refiere a exactamente un número real. Definir $f(x)=x^2-2.$ queremos mostrar que $f$ tiene exactamente una raíz en $(0,\infty)$. Tenemos un límite inferior en la cardinalidad de su conjunto de raíces mediante el cálculo de $f(0) = -2$$f(2) = 2$, por lo tanto, por IVT, tenemos:

$$1 \leq |x \in (0,\infty) : x^2 -2 = 0|$$

Para un límite superior, utilice el teorema anterior para obtener

$$|x \in (0,\infty) : x^2 -2 = 0| \leq |x \in (0,\infty) : 2x = 0|+1 = 0+1 = 1$$

Ergo:

$$|x \in (0,\infty) : x^2 = 2| = 1$$

Answer 1

Esta variante es indicada como exercice V.1.12 en el libro problemas y teoremas en análisis (tomo 2) por Polya y Szego y hay una consecuencia temprana anónima del teorema de Rolle. Así que no creo que tiene un nombre bien conocido.

Puede indicarlo como $$ Z(f) \le Z(f') + 1, $$ donde $Z$ da el número de ceros de una función.

Nota. Recoger una copia de los problemas y teoremas en análisis si se puede. Es una lectura accesible y los ejercicios comienzan fáciles en cada sección.

Answer 2

Llegar a una conclusión incorrecta. Una función puede ser continuamente diferenciable y tiene una infinidad de ceros en un intervalo abierto, sin ser constante en cualquier subinterval.

Considere la posibilidad de $$ f(x)=\begin{cases} 0 & \text{if %#%#%} \\[6px] x^3\sin\dfrac{1}{x} & \text{if %#%#%} \end{casos} $$ A continuación, $x=0$ es diferenciable en todas partes y $$ f'(x)=\begin{cases} 0 & \text{if %#%#%} \\[6px] 3x^2\sin\dfrac{1}{x}-x\cos\dfrac{1}{x} & \text{if %#%#%} \end{casos} $$ que es continuo. Por otro lado, no hay ningún intervalo en que se $x\ne0$ es constante.

Si el conjunto de $f$ de los ceros de $x=0$ es finito, es decir $x\ne0$, podemos definir a la $f$ asignando a $Z(f)$ un elegido de forma arbitraria cero de $f$ en el intervalo de $Z(f)=\{x_0,x_1,\dots,x_n\}$, cuya existencia está garantizada por el teorema de Rolle. La elección puede ser hecha canónico por la elección de la más a la izquierda del punto de máxima absoluta en $\varphi\colon Z(f)\setminus\{x_0\}\to Z(f')$ si $x_i$ asume que los valores positivos en el intervalo, a la izquierda del punto de mínimo absoluto de lo contrario (tenga en cuenta que $f'$ no puede ser constante a lo largo de la subinterval).

Si $(x_{i-1},x_i)$ es infinita, la situación es hairier. En el caso que sea contables, el conjunto contiene ya sea un aumento o una disminución de la secuencia. Teorema de Rolle puede ser fácilmente aplicado de la misma manera como antes.

¿Qué acerca de los innumerables caso?