¿Por qué el torque apunta perpendicular a la dirección del movimiento?

Question

Tengo un problema de intuición para calcular el torque usando la fórmula del producto cruzado. Por ejemplo, supongamos que la magnitud de la fuerza es de 50 libras y la longitud de la llave es de un pie, estás aplicando la fuerza en un movimiento en sentido horario y el ángulo en el que aplicas la fuerza es de 60 grados. Este es un ejemplo para poder hacer mi pregunta. Usando la regla de la mano derecha, el torque apunta perpendicular a la fuerza que estás aplicando al perno. En este caso, dado que el seno de 60 grados es aproximadamente 0.86, sería (0.86)(50) libras-pie. ¿Cómo puede girar el perno en sentido horario si la fuerza está concentrada perpendicular a donde necesita girar? La fórmula del producto cruzado exige que el torque sea perpendicular. Obviamente hay un error en mis cálculos pero no veo dónde está.

Answer 1

Para agregar a la respuesta de la respuesta de Steeven y en particular su declaración muy pertinente:

No se puede definir la dirección de un vector como algo que gira alrededor.

Puede ayudarte a entender que el torque como vector en realidad es un poco engañoso: es una "simplificación" con la que solo podemos salirnos con la nuestra en dos y tres dimensiones, por lo que la "dirección" parece un poco abstracta. La dirección del "vector" de torque define el eje del movimiento que tiende a inducir, y por la misma razón por la que el torque como vector es un poco tramposo, incluso la noción de eje solo funciona en dos y tres dimensiones.

El torque se trata de rotación, y las rotaciones principalmente son transformaciones que están confinadas a planos. Por ejemplo, una rotación alrededor del eje $z$ es una transformación que agita el plano $x-y$ - transforma las coordenadas $x$ y $y$ de las cosas - pero deja inalteradas las coordenadas $z$.

Cuando hacemos geometría de dimensiones superiores, las rotaciones cambian planos y dejan más de una dimensión invariante. En una rotación de cuatro dimensiones, es incompleto hablar de una rotación alrededor de un eje, porque, por ejemplo, puedes tener una rotación que deja invariables las coordenadas $x$ y $y$ de los puntos, pero deja invariables las coordenadas $z$ y $w.

Entonces, en general, la forma más fácil de especificar una rotación es especificando el plano que cambia, en lugar de especificar el subespacio que deja invariante.

Simplemente sucede que en tres dimensiones, el subespacio dejado invariable es una línea o un "eje"- así que los dos enfoques equivalen a lo mismo. Podemos definir un plano en tres dimensiones especificando un vector normal a él, razón por la cual podemos salirnos con la nuestra con un torque o una velocidad angular como vector. En general, estas cantidades son planos dirigidos, no líneas con dirección.

Answer 2

¿Cómo puede girar el perno en sentido horario si la fuerza está concentrada perpendicular a donde necesita girar?

Porque esa fuerza es perpendicular a la dirección hacia el centro de rotación. No hacia la dirección de giro. El perno en efecto gira de la misma manera en que la fuerza lo jala.

Cuando defines una dirección de vector de torque, tienes un problema. No puedes definir una dirección de vector como algo que gira alrededor. La dirección debe ser a lo largo de una línea recta. Así que en lugar de elegir el "giro" del torque, podríamos elegir el eje del torque como la dirección del vector.

Echa un vistazo a esta imagen:

El eje es vertical a través del perno a lo largo de las dos flechas hacia arriba/abajo. Si eliges definir la dirección del vector de torque a lo largo de este eje, todo encaja. Solo tenemos que recordar esa elección.

El torque es: $$\vec \tau = \vec F \times \vec r$$

El vector de fuerza $\vec F$ multiplicado por el vector hacia el centro de rotación $\vec r$ da el vector de torque. El resultado de un producto cruz es matemáticamente un vector apuntando verticalmente hacia arriba, por lo que encaja perfectamente con esa elección. El vector de torque $\vec \tau$ que obtienes de este cálculo tiene la magnitud de torque pero la dirección del eje de torque.

Mientras recuerdes esta elección, esta definición, todo estará bien. Cada vez que escuches "la dirección del torque es horizontal", sabrás que esto es simplemente el eje del torque; el torque (el giro) es entonces vertical.

Answer 3

Considerando la definición de torque $\vec{\tau}$ debido a una fuerza $\vec{F}$ que pasa a través de un punto $\vec{r}$, $$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$$

Usando la identidad del producto cruzado $\| \vec{A} \times \vec{B} \| = \| A \| \|B \| \sin \theta$, donde $\theta$ es el ángulo formado por los dos vectores, podemos escribir lo siguiente

$$ \| \vec{\tau} \| = \| \vec{r} \| \| \vec{F} \| \sin \theta $$ $$ \tau = F (r \cos \varphi) = F \, d$$ puesto que $\theta = \frac{\pi}{2}+\varphi$ y $d = r \cos\varphi$ es la distancia perpendicular a la línea de acción de la fuerza.

En resumen, el producto cruzado elimina cualquier influencia de la ubicación de la fuerza a lo largo de la línea de acción y solo considera la distancia perpendicular para medir el torque.

Apéndice

El torque es el momento de la línea de acción de una fuerza. Se define como $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$

La velocidad es el momento de la línea de rotación de un cuerpo rígido. Se define como $\vec{v} = \vec{r} \times \vec{\omega}$

Ambas cantidades ($\vec{\tau}$ y $\vec{v}$) contienen información sobre la distancia (posición) a una línea en el espacio. Esto se puede recuperar mediante

$$ \begin{align} \vec{r}_{\perp} &= \frac{\vec{\omega} \times \vec{v}}{\| \vec{\omega} \|^2} & \vec{r}_{\perp} &= \frac{\vec{F} \times \vec{\tau}}{\| \vec{F} \|^2} \end{align} $$

La dirección del vector de torque es similar a la dirección del vector de velocidad en un cuerpo rígido en rotación. Es un vector circunferencial perpendicular tanto a la línea de acción como a la ubicación de la línea. Se explica mejor como la velocidad tangencial de un cuerpo extendido en rotación bajo el origen de coordenadas.

_{Ver <a href="https://physics.stackexchange.com/a/130058/392">esta respuesta</a> para una explicación más detallada de la geometría en mecánica.}

Answer 4

Creo que tu pregunta es mejor respondida por los experimentos de giroscopio. Primero, el giroscopio que no está girando, es soportado en ambos extremos. Luego, se quita un soporte, y el giroscopio "cae". Sin embargo, cuando este experimento se repite con el giroscopio girando, en lugar de caer, ¡el giroscopio gira alrededor del extremo de soporte! Este movimiento es perpendicular tanto al vector de fuerza de la gravedad como al vector de torsión. Esto demuestra que la torsión genera un vector que es perpendicular al plano de rotación.

Answer 5

¿Por qué el torque apunta perpendicular a la dirección del movimiento?

Los físicos a menudo dicen que usan el pensamiento de primeros principios, pero para llegar a esos primeros principios, siempre utilizan observaciones del mundo real y crean ecuaciones para explicar la observación, pero a veces no pueden explicar la razón fundamental detrás de la observación que dio origen a la ecuación. En el espacio tridimensional, hay dos posibles vectores ortogonales (vector de torque en este ejemplo) en relación con otro plano (objeto giratorio en este ejemplo). El vector de torque podría estar potencialmente en cualquier dirección, por lo que es contra intuitivo. Nuestro universo (desde lo que los humanos observan desde la Tierra y el espacio exterior en nuestro sistema solar) simplemente utiliza la regla de la mano derecha para la dirección del vector de torque. ¿Por qué? Simplemente es. Podría ser coincidencial que tengamos otros fenómenos que utilizan esta regla de la mano derecha en los "Datos interesantes" a continuación. Es así como fue diseñado el universo. Los físicos llegaron a la ecuación de T = r * sin(theta) * F observando el proceso de giro de un objeto giratorio. Simplemente usaron una analogía que observaron en la Tierra con objetos giratorios. El primer video a continuación lo explica muy bien. La T es simplemente lo que miden de torque para el proceso de giro de cada efecto. Los físicos no han demostrado por qué el vector de torque apunta en la dirección del pulgar al usar la regla de la mano derecha. Simplemente es. Simplemente muestran un valor con unidades basado en las matemáticas. Vea el segundo video sobre cómo funciona la regla de la mano derecha. El video #3 muestra mucho más de las matemáticas.

Video #1:
https://www.youtube.com/watch?v=ty9QSiVC2g0

Video #2:
https://www.youtube.com/watch?v=fuTVnSFBhwk

Video #3
https://www.youtube.com/watch?v=XPUuF_dECVI

En este caso, dado que el seno de 60 grados es aproximadamente .86, sería (.86)(50) libras pie. ¿Cómo puede el perno girar en sentido horario si la fuerza está concentrada perpendicular a donde necesita girar?

Esto es simplemente utilizando las matemáticas de la ecuación T = F * r * sin(theta) en la explicación anterior. Asegúrese de usar las unidades correctas (Newton metros) para el torque en física al resolver una ecuación. Consulte aquí para conversiones de unidades si usa libras pie. https://en.wikipedia.org/wiki/Pound-foot_(torque). Si el vector de fuerza y el vector de torque se aplican en la misma dirección que la regla de la mano derecha, se obtiene un vector de torque positivo, porque realmente hay una fuerza perpendicular (torque). Si es en dirección opuesta, se obtiene un vector de torque negativo. Pero en realidad, las fuerzas están en ambas direcciones en la física, ya que siempre hay equilibrio con la Tercera Ley de Newton. Pero en matemáticas, se debe mostrar cuál es positivo y cuál es negativo para que los primeros principios funcionen.

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Datos interesantes con la Regla de la Mano Derecha:

• (Ley Circuital de Ampère) Una corriente eléctrica pasa a través de un solenoide, lo que resulta en un campo magnético. Cuando envuelves tu mano derecha alrededor del solenoide con tus dedos en la dirección de la corriente convencional, tu pulgar apunta en la dirección del polo magnético norte.
• (Ley Circuital de Ampère) Una corriente eléctrica pasa a través de un alambre recto. El pulgar apunta en la dirección de la corriente convencional (de positivo a negativo), y los dedos apuntan en la dirección de las líneas de flujo magnético.
• (Torque) El principio se utiliza para determinar la dirección del vector de torque. Si sujetas el eje imaginario de rotación de la fuerza rotacional de modo que tus dedos apunten en la dirección de la fuerza, entonces el pulgar extendido apunta en la dirección del vector de torque. A menudo se le conoce como precesión de giro.
• (Campo Electromagnético) Al aplicar la regla a la corriente en un alambre recto, por ejemplo, la dirección del campo magnético (en sentido contrario a las agujas del reloj en lugar de en el sentido de las agujas del reloj cuando se ve desde la punta del pulgar) es resultado de esta convención y no de un fenómeno físico subyacente.