Cómo demostrar que las derivadas tienen la propiedad del valor intermedio

Question

Estoy leyendo un libro que da este teorema sin demostración:

Si a y b son dos puntos cualesquiera de un intervalo en el que ƒ es diferenciable, entonces ƒ' toma cualquier valor entre ƒ'(a) y ƒ'(b).

Por lo que puedo decir, el teorema significa que el hecho de que ƒ' sea la derivada de otra función ƒ en [a, b] implica que ƒ' es continua en [a, b].

¿Es correcto lo que he entendido? ¿Existe un nombre de este teorema que pueda utilizar para encontrar una demostración del mismo?

Answer 1

Esto es realmente un buen ejercicio. (De hecho, si no recuerdo mal, se planteó como problema en el primer examen de matemáticas que hice en la universidad. Por desgracia, todo lo que pude decir fue que era cierto si $f'$ se asumió como continua, por lo que recibí cero créditos).

Permítanme exponerlo un poco y dejar el resto a los lectores interesados: es fácil reducir el caso general a lo siguiente: supongamos que $f'(a) > 0$ y $f'(b) < 0$ . Entonces existe $c \in (a,b)$ con $f'(c) = 0$ .

Esta es la idea: un punto interior con $f'(c) = 0$ es un punto estacionario de la curva (¡y a la inversa!). En particular, la derivada será cero en cualquier máximo o mínimo interior de la curva. Recordemos que como $f$ es diferenciable, es continua y, por tanto, asume un valor máximo y mínimo en $[a,b]$ . Así que estamos listos a menos que tanto el máximo como el mínimo se alcancen en los puntos finales. Quizás las condiciones de signo de $f'$ en los puntos finales tienen algo que ver con esto...

Answer 2

El resultado se conoce comúnmente como teorema de Darboux, y el Artículo de Wikipedia incluye una prueba.

Answer 3

Una prueba sin palabras:

La pendiente de la secante varía continuamente de $f'(a)$ a $f'(b)$ por lo que toma todos los valores de $[f'(a), f'(b)]$ . Por el teorema del valor medio, también lo hace $f'$ .

Para conocer los detalles, puede leer el prueba original de Lars Olsen en el que se basa esta animación. Sorprendentemente, esta prueba no parece haber sido descubierta hasta 2004.

Answer 4

Esto es lo que se me ha ocurrido: Que $c$ estar entre $f'(a)$ y $f'(b)$ y quieren demostrar que existe $x_0 \in (a,b)$ tal que $f'(x_0) =c$ .

Caso 1 : $c \leq \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ .

A continuación, establezca $$ g(x) := \frac{f(x) - f(a)}{x-a} $$ Entonces $g$ es claramente continua para $x>a$ y $g(a) = f'(a)$ Así que $g$ es continua en $a$ también. Desde $g(a) = f'(a) <c$ y $g(b) \geq c$ por el teorema del valor intermedio existe un punto $x_1 \in (a,b]$ tal que $c=g(x_1)$ . Entonces, por el teorema del valor medio, existe $x_0 \in (a,x_1]$ tal que $f'(x_0) = c$ .

Caso 2 : Si $c > \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ y, a continuación, intente un argumento similar con $$ h(x) := \frac{f(b) - f(x)}{b-x} $$