¿Cómo puedo encontrar todas las funciones continuas $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^+$ tal que $$\frac{1}{f\left(y^2f(x)\right)} = \big(f(x)\big)^2\left(\frac{1}{f\left(x^2-y^2\right)} + \frac{2x^2}{f(y)}\right)$de % $ % reales todos $x,y$?
Respuesta
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Primero vamos a mostrar que $f(x) = f(-x)$ todos los $x \in \mathbb{R}$. Poner $x=y=0$, y obtenemos $$\frac{1}{f(0)} = f(0),$$ lo que implica que $f(0) = 1$. Ahora dejando $x=0$ tenemos $$\frac{1}{f(y^2)} = \frac{1}{f(-y^2)},$$ lo que implica que $f(y^2) = f(-y^2)$, lo que demuestra nuestra primera reclamación.
Ahora desde $f(x) = f(-x)$ existe una función de $g\colon [0,\infty) \to \mathbb{R}^+$ tal que $f(x) = g(x^2)$. La condición en $f$ se convierte en $$\frac{1}{g(y^4g^2(x^2))} = (g(x^2))^2 \left( \frac{1}{g((x^2 - y^2)^2)} + \frac{2x^2}{g(y^2)} \right).$$ Cambiando $x^2 \mapsto x$$y^2 \mapsto y$, esto convierte a $$\frac{1}{g(y^2 g^2(x))} = (g(x))^2 \left( \frac{1}{g((x-y)^2)} + \frac{2x}{g(y)}\right).$$ Note ahora que ya sabemos que $g(0) = f(0) = 1$. También, mediante el establecimiento de $x=1$, $y=0$ tenemos $$1 = (g(1))^2 \left( \frac{1}{g(1)} + 2 \right) \Leftrightarrow g(1) = (g(1))^2 + 2 (g(1))^3 \Leftrightarrow$$ $$1 = g(1) + 2 (g(1))^2 \Leftrightarrow 2(g(1) - \frac{1}{2})(g(1) + 1) = 0.$$ Por lo tanto $g(1) = \frac{1}{2}$.
Vamos a demostrar por inducción que $g(n) = \frac{1}{1+n}$ todos los $n \in \mathbb{N}$. Supongamos que la demanda se mantiene para algunos $n \in \mathbb{N}$, luego $$\frac{1}{g((n+1)^2 g^2(n))} = (g(n))^2 \left( \frac{1}{g((n-(n+1))^2)} + \frac{2n}{g(n+1)}\right) \Leftrightarrow$$ $$\frac{1}{g(1)} = \frac{1}{(n+1)^2} \left( \frac{1}{g(1)} + \frac{2n}{g(n+1)}\right) \Leftrightarrow$$ $$2 (n+1)^2 = 2 + \frac{2n}{g(n+1)} \Leftrightarrow g(n+1) = \frac{1}{n+2},$$ y por inducción tenemos que $$g(n) = \frac{1}{n+1}$$ para todos los $n \in \mathbb{N}$.
Considere ahora la condición original de $g$ y deje $x$ $y$ ser números naturales. Tenemos que $$\frac{1}{g(\frac{y^2}{(x+1)^2})} = \frac{1}{(x+1)^2} \left( (x-y)^2 + 1 + 2x(y+1) \right) \Leftrightarrow$$ $$\frac{1}{g(\frac{y^2}{(x+1)^2})} = \frac{1}{(x+1)^2} \left( (x+1)^2 + y^2 \right) \Leftrightarrow$$ $$g(\frac{y^2}{(x+1)^2}) = \frac{(x+1)^2}{(x+1)^2 + y^2} = \frac{1}{\frac{y^2}{(x+1)^2} + 1},$$ y por lo tanto la fórmula $$g(x) = \frac{1}{x+1}$$ tiene para todos los cuadrados de los números racionales. Pero son densos en $[0,\infty)$ y desde $g$ fue continuo, tenemos que la única solución es $$g(x) = \frac{1}{x+1}.$$ (La comprobación de que esto es de hecho una solución es sencilla.) Así $$f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}.$$
