Me permite dejar en paz el particular, la ecuación se hace mención a la cuestión de la serie, y centrarse en la idea general de búsqueda de funciones "en el medio" entre dos familias de funciones. Hay algunos muy interesantes de las matemáticas en esa idea.
La esencia de esta parte de tu pregunta es que usted tiene dos familias de funciones, en su caso, las funciones lineales y las funciones exponenciales, y la primera familia que se encuentra debajo de la segunda, en el sentido de que cada función en la parte inferior de la familia es, finalmente, dominado por cada función en la parte superior de la familia. Debido a esto, es muy natural querer comprender las funciones que se encuentran entre las dos clases. En qué circunstancias y para qué tipos de familias $L$ $U$ podemos siempre encontrar una función $f$ llenando el vacío? Es decir, buscamos una función de $f$ que con el tiempo domina las funciones en la parte inferior de la familia $L$ y finalmente es dominado por las funciones en la parte superior de la familia $U$. Es natural considerar los casos en que las familias son máximas en algún sentido, y como un caso especial, se podría considerar lo que sucede cuando se linealmente ordenado por la eventual dominación.
Mucho del contenido de esta pregunta está presente ya en el caso de las funciones de $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$, y de hecho, resulta que gran parte del fenómeno fundamental que se produce ya para las funciones de $g:\mathbb{N}\to 2$, lo que equivale a considerar el cociente $P(\omega)/Fin$, como en este MO respuesta.
Esta forma de pensar está íntimamente relacionado con el fenómeno de Hausdorff lagunas.
En primer lugar, si ambas familias son contables (o están determinadas por una contables sub-familia, lo cual es cierto en su caso), entonces es un ejercicio agradable para demostrar que uno siempre puede llenar el vacío (primero demostró por Hausdorff). Esto es, dados dos contables de las familias de funciones, los miembros de la primera final siempre dominada por miembros de la segunda, entonces existe una función de llenar la brecha.
Segundo, Hausdorff construido ejemplos de familias de funciones que no admiten la función en el medio; estas lagunas no puede ser llenado. Es decir, se produce una menor de la familia $L$ y superior de la familia $U$, de tal manera que cada función en la parte inferior de la familia, finalmente, fue dominado por cada función en la parte superior de la familia, pero no hay ninguna función sólo en el medio, llenando el vacío. Sus ejemplos fueron
sin llenar los vacíos de tener innumerables tipo de orden $(\omega_1,\omega_1)$, en el sentido de que el tanto de la parte inferior y superior de las familias están determinadas por una casi-aumento de la $\omega_1$-secuencia de funciones.
El unfillable la naturaleza de estas deficiencias, sin embargo, admite que el amplio conjunto de la teoría de la independencia, en el sentido de que un vacantes brecha a veces puede ser llenado por una función que se añade al forzar, es decir, moviendo a un conjunto más amplio de la teoría de universo. Al mismo tiempo, existen métodos de sellado de una brecha, que evitar que cada vez que se rellena un cardenal-la preservación de forzar la prórroga.
Kunen demostrado que es consistente con el axioma de Martin plus $\neg CH$ que hay sin llenar los vacíos de tipo $(\omega_1,c)$ $(c,c)$ donde $c$ es el continuo, y también de acuerdo en que todas estas lagunas están llenas.
