Una de las claves es, seguramente, que cualquier método de suma debe ser consistente con los resultados de una suma convencional, si el método de suma se aplica a sumas/series convergentes. Me parece bastante obvio (pero por si se busca una fuente en la literatura, por ejemplo, Konrad Knopp lo explicó en su monografía sobre series infinitas:) "hay que dejar claro, lo que significa realmente el símbolo 1+2+3+4+..."; lo primero que hay que hacer es encontrar/definir una expresión para cada término de la suma relativa a su índice. De lo contrario, 1+1+1+1+... y 1+0+1+0+1+0+... no se pueden distinguir unos de otros. En la serie geométrica con la base q tenemos el término general $q^k$ depende de su índice k en la serie zeta tenemos el término general como $k^{-s}$ con el exponente fijo s y así sucesivamente.
Así que primero deberíamos escribir $s(p)=\sum_{k=1}^\infty a(k,p) $ y definir a depende de k y posiblemente en otro parámetro externo p para tener una descripción del término general.
Después de eso podríamos encontrar
- efectos telescópicos: posteriormente los términos siguientes se cancelan (posiblemente sólo parcialmente) y toda la expresión se reduce entonces a una suma finita
- intervalos continuos para algún parámetro p para lo cual $s(p)$ es una serie convergente con una expresión de forma cerrada $g(p)$ depende de ese parámetro, donde podría ser coherente ampliar $g(p)$ también para los casos en que la serie $s(p)$ serían divergentes y así sucesivamente.
- $\cdots$
En este último caso puede ocurrir que encontremos una extensión de este tipo y que parezca una reexpresión sensata, pero que más tarde se descubra que también hay otra reformulación, por ejemplo como una suma con efecto telescópico, que se reduce entonces a otro valor de la suma (originalmente divergente). Entonces hay que revisar la suma/regularización encontrada - y en general esto es todavía un campo de investigación abierto. Hay procedimientos de suma aceptados incluso para clases completas de series infinitas - accesibles, por ejemplo, por Abel-, Cesaro-, Euler-, Borel-, Ramanujan-sumación, por nombrar sólo los clásicos; pero hay arbitrariamente muchas series para las que no tenemos un procedimiento de suma aceptado.
L. La "regularización" zeta de Euler, por ejemplo, utilizaba que
$$s(p) = \sum_{k=1}^\infty k^p $$ puede escribirse aparentemente como $$\sum_{k=1}^\infty (-1)^k k^p +2\cdot \sum_{k=1}^\infty (2k)^p$$ y luego $$\sum_{k=1}^\infty (-1)^k k^p +2\cdot 2^p \cdot \sum_{k=1}^\infty k^p $$ y luego $$ s(p) = t(p) + 2 \cdot 2^p \cdot s(p)$$ $$ s(p)(1-2 \cdot 2^p) = t(p)$$ $$ s(p) = {t(p) \over (1-2 \cdot 2^p)} $$ donde t(p) puede aproximarse para un rango más amplio del parámetro p . Pero que esto funcione en general depende de que exista a) un rango continuo para el parámetro p donde esto es convergente (y permite la misma simplificación/reformulación) y b) este rango puede extenderse continuamente preservando el sentido de los valores finitos para el $s(p)$ .
