Representación de la fase en mecánicos del quántum

Question

[Nota: Mi discusión de las tres respuestas se pueden encontrar justo después de la pregunta.]

Imagina tres puntos en el espacio que difieren sólo por un ángulo de fase de "algo" (lo que en realidad no importa).

Una manera de representar la diferencia en el ángulo de fase entre los tres puntos que consiste en asignar a cada uno un ángulo específico de la designación, por ejemplo,$0^{\circ}$, $90^{\circ}$, y $180^{\circ}$, o en el equivalente del número complejo formas, $1$, $i$, y $-1$. [1]

Sin embargo, la asignación de los ángulos de fase se supone que el ángulo de inicio de 0 grados es una constante universal en todo el espacio en que puntos se podría existir. Para muchos fenómenos, especialmente en la mecánica cuántica, resulta que cómo seleccionar este universal o global $0^{\circ}$ realmente no importa. La capacidad para seleccionar el $0^{\circ}$ punto arbitrariamente -- o, equivalentemente, la posibilidad de añadir ningún arbitraria o ángulo de fase de cada punto en el espacio, se describe típicamente como una simetría de la física.

Si no te importa la explosión del número de matemáticos cantidades de que se trate, puede expresar las relaciones sin asumir ningún tipo de constantes globales de existir. Más específicamente, se puede utilizar un Mach-como en el enfoque en el que los ángulos de fase de existir sólo entre pares de ubicaciones en el espacio. Con este enfoque, y suponiendo que los transitivos de las relaciones de fase, puede utilizar $n$ fase de vectores (que es una frase que me hizo, así que no te molestes en buscarla) especificar todas las relaciones de fase entre todas las partículas, donde $n$ es el número de puntos (o partículas) en el espacio que tienen los ángulos de fase:

$p_1 \rightarrow p_2 = i = 90^{\circ}$

$p_1 \rightarrow p_3 = -1 = 180^{\circ}$

Observe que en el ejemplo anterior, la configuración de todos los de la fase de vectores para que se inicie en la misma ubicación proporciona un equivalente cercano a asumir un universal $0^{\circ}$. La única diferencia es que aquí tienes explícitamente declaró que punto va a servir como el universal $0^{\circ}$ valor de referencia a todas las demás partículas.

Los dos anteriores de la fase de vectores de definir completamente las relaciones de fase de los tres puntos que he descrito anteriormente, pero hay muchas maneras de capturar las relaciones de fase. La plena expansión de la fase vectores implícita por $\{(p_1=1), (p_2=i), (p_3=-1)\}$ es:

$\{(p_1 \rightarrow p_2 = i), (p_2 \rightarrow p_1 = -i),$

$(p_2 \rightarrow p_3 = i), (p_3 \rightarrow p_2 = -i),$

$(p_1 \rightarrow p_3 = -1), (p_3 \rightarrow p_1 = -1)\}$

Ahora, por fin, a mis preguntas. Siéntase libre de responder a cualquier o todos, o crear su propio. Respuestas del tipo "Terry usted tonto esto es sólo [...] enunciado mal!" no sólo son bienvenidos, pero enormemente apreciado, si precisa.

1. Es la fase de simetría real, o es sólo un artefacto de uso de métodos matemáticos que asumir la existencia de un universal $0^{\circ}$ valor que no tiene significado físico, desde la fase sólo puede ser medido mediante el uso de pares de ubicaciones?

2. Fase de flechas tienen su propia simetría, ya que cualquier conjunto de $n-1$ fase de flechas [2] que conecta $n$ de las partículas puede ser utilizado para representar sus relaciones de fase. Así, la fase de flechas acaba de oscurecer la fase de simetría por lo que representa en una forma de partículas centrado en el camino?

3. O es al revés: Es la equivalencia de todas totalmente conjuntos conectados de fase de las flechas de la más profunda simetría, ya que refleja un enredo-como la preservación de la fase a través de mediciones de muchas, muchas partículas?

4. Si la fase de simetría es sólo un artefacto de asumir un global $0^{\circ}$, lo que hace que implica para expresar el electromagnetismo como una fase de simetría? ¿Qué cambiaría?

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2012-09-02 - Evaluación de las tres respuestas

Las tres respuestas son útiles, y lo mejor que me puede discernir, precisa. He seleccionado @NickKidman como "la" respuesta, principalmente debido a la agradable enlace a la página de la Wikipedia en montones, que la mayoría de los sucintamente dirigió a mi pregunta de por qué parece posible para representar a estos problemas de un afín-como forma. Pero el @Kostya respuesta también fue muy agradable desde un poco diferente perspectiva matemática, y me gustó la respuesta de cada uno de los cuatro sub-preguntas. Por último, creo que @RonMaimon mejor captó la importante diferencia en sólo cómo la fase de simetría se utiliza en la teoría de gauge. Por lo tanto, mi recomendación para cualquier persona que viene a través de esta pregunta es que se debe ir con cuidado a través de todas las tres de las respuestas que proporciona como de 2012-09-02. Cada uno aporta valor. Mi agradecimiento a todos por tan excelentes respuestas, y mis disculpas que me olvidé de no cerrar esta uno anterior.

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[1] Esta nota es para los lectores que no familiarizado con complejo de plano ángulos de fase. Usted puede preguntarse por qué @Kostya del complejo de plano el ángulo de la notación se ve tan diferente de mi afirmación de que $1$, $i$, y $-1$ representan los "ángulos." Realmente estamos hablando de lo mismo, se lo aseguro!

Los ángulos son muy a menudo representado y calculado en disciplinas de la física utilizando un compacto notación exponencial con notables propiedades de cálculo. Que la notación funciona de esta forma: Si aumenta la constante matemática $e$ ($\approx 2.71828$) a un imaginario exponente ... y sí, érase una vez y hace muchos años, una gran cantidad de profundo pensamiento matemático fue a averiguar qué significa para elevar un número a una imaginaria exponente-luego la mayoría de la curiosa relación que surge.

La primera parte de lo que sucede es que la magnitud $\phi$ del imaginario exponente, es decir, el número real por el cual $i$ se multiplica el exponente -- termina especificando un valor complejo que es siempre una unidad de distancia desde el origen ($0$) del plano complejo.

A continuación, si usted interpretar el origen $0$ del plano complejo como el vértice de un ángulo, y la línea de $0$ $1$como uno de los lados de ese ángulo, a continuación, la línea de $0$ a la unidad de longitud complejo valor generado por $e^{i\phi}$ va a definir al otro lado de ese ángulo. Para hacer que funcione correctamente, el ángulo de $\phi$ debe ser expresado en unidades de radianes en lugar de grados, donde $180^\circ = \pi$ (radianes). (Nota: La asombrosa relación entre $e$, $i$, $\pi$, y $-1$ que esta relación produce se conoce como la Identidad de Euler.)

Por lo tanto, si usted comienza con un verdadero ángulo de $\phi=\pi/2=90^\circ$, lo que la función de $e^{i\phi}$ que hace es "traducir" ese algo abstracto ángulo real en un tangibles y que se puede visualizar fácilmente el ángulo formado por el complejo plano vértice $0$, el valor de la unidad $1$ (que define el "supuesto" lado horizontal del ángulo), y la salida de $e^{i\phi}$, que en este caso sería la $i$. Desde $i$ es recta desde el vértice $0$, el ángulo resultante es $90^\circ$.

Así que, yo de ordenación de cortar a la persecución y habló sólo de unos pocos seleccionados cuidadosamente ejemplos de cómo $1=0^\circ$, $i=90^\circ$, $-1=180^\circ$, y $-i=270^\circ$ muestran el potencial de números complejos para representar ángulos. Ese potencial se realiza en la $e^{i\phi}$, lo que permite a la unidad de círculo complejo ángulos para ser representado con sencillez y elegancia.

Todavía, el uso de números complejos solo para ángulos tiene sus ventajas también. En particular, simplemente la multiplicación de dos números complejos es la misma que la adición de dos ángulos -- un truco, de verdad, y mucho más rápido que hacer un montón de funciones trigonométricas! También proporciona una manera diferente de entender el porqué de la $i^2=-1$. Si esos números son en lugar de interpretarse como los ángulos, que son simplemente la adición de dos $90^\circ$ ángulos (representados por los dos $i$ valores) para producir un nuevo ángulo de $180^\circ$ (-1 resultado).

[2] Corregido de $n$; gracias @NickKidman!

Answer 1

Representaciones:

Deje $n$ el número de fases. Como $p_1\rightarrow p_1$ es trvial porque no hay ninguna diferencia entre una fase y sí, usted necesita exactamente $n-1$ relaciones

$$((p_1\rightarrow p_2),(p_1\rightarrow p_3),(p_1\rightarrow p_4),\dots,(p_1\rightarrow p_n)),$$

para especificar todas las fases. Si se especifica la representación de esta manera, la entrada de $(p_1\rightarrow p_1)$ como primer componente

$$((p_1\rightarrow p_1),(p_1\rightarrow p_2),(p_1\rightarrow p_3),(p_1\rightarrow p_4),\dots,(p_1\rightarrow p_n)),$$

de modo que, por ejemplo, $$x=(\Delta\varphi_{11},\Delta\varphi_{12},\Delta\varphi_{13},\dots,\Delta\varphi_{1n}),$$ es una fase de vector, entonces esto puede ser visto como un punto de un n-dimensional $2\pi$-periodix cuadro de $\sim S^n$. Por supuesto, la fase de flecha

$$((p_1\rightarrow p_2),(p_2\rightarrow p_3),(p_2\rightarrow p_4)\dots,(p_2\rightarrow p_n)),$$

es igualmente buena en la que describe el sistema. Dejar caer el primer componente da vectores $$x'=(\Delta\varphi_{12},\Delta\varphi_{13},\dots,\Delta\varphi_{1n})$$ in a space $\sim S^{n-1}$. La representación $$((p_n\rightarrow p_1),(p_1\rightarrow p_2),(p_2\rightarrow p_3),(p_3\rightarrow p_4),\dots,(p_{n-1}\rightarrow p_n)),$$

es decir,

$$x''=(\Delta\varphi_{n1},\Delta\varphi_{12},\Delta\varphi_{23},\dots,\Delta\varphi_{(n-1)n}),$$

también contiene una entrada demasiado, pero utiliza relativa de fases sólo, de una manera que evita la $(p_i\rightarrow p_i)$, es decir, un ángulo, que es necesariamente $0°$.

El mundial de simetría es un 1-dimensional por la traducción

$$c\ (1,1,\dots,1),\ \ \ c\in \mathbb{R}\ \text{mod}\ 2\pi \sim S.$$

individual o $\varphi$ ángulos, que se utiliza para calcular las diferencias.

Contando fase de vectores:

En cualquier caso, usted debe ser capaz de calcular todos los de la fase relativa de las diferencias sumando o restando los pares de diferencia de fase, lo que significa que debe haber un camino entre dos diferentes vértices $n$. La adición de más información sobre la fase / bordes es superfluo, y así no sólo debe ser un camino entre dos vértices. Obviamente, no necesitamos ningún bordes $(p_i\rightarrow p_i)$, que son auto-bucles. Esto significa que, aparte de la fase de la señal que indica la dirección de la punta, la fase de los vectores de la $n$-ángulo de sistema isomorfo a todos los árboles de $n$ vértices, y esto implica, además, que hay $n^{n-2}$ , al menos, igual de válido fase de vectores. Más específicamente, como se dijo anteriormente, cada uno de los ángulos correspondientes a $(p_1\rightarrow p_2)$ es realmente un borde dirigido y, aparte de un signo menos, es igual a la inversa de una $(p_2\rightarrow p_1)$. Con el número exacto de $n-1$ bordes de los árboles siempre tienen, hay claramente $2^{n-1}$ configuraciones de un árbol, por lo $2^{n-1}n^{n-2}$ fase de vectores total.

Las transformaciones entre estas representaciones de los ángulos relativos se hereda de gráfico teórico morfismos, y estos, a continuación, incluir también la $(\mathbb{Z}_2)^{n-1}$ de conmutación de simetrías. Los valores de los ángulos son independientes de las transformaciones. Y así como la cantidad mínima de información (= tupla de números para especificar) sólo depende del número de partículas. La nomenclatura de la transformación sólo se indica el número de fases.

En el cálculo:

Constatar el hecho de que usted tiene una simetría global dice que hay una fase de parámetros que pueden ser variadas (y ese parámetro da la posibilidad relativa de fases) y cuál es la estructura de la teoría definitivamente no se parece. Desde un punto de vista lingüístico, espero que no es necesario mencionar una fase fijada $0^\circ$ para un ángulo inicial, si las partículas de trabajo son etiquetados ya. Esto le da a la formulación:

"Hay una (tal vez muy complicado y engorroso) manera de hacer teoría del campo de cómputos, donde para todos los pares de partículas, sólo necesita usar las variables $\Delta\varphi_{ij}?$ a calcular el (eventualmente necesariamente valor de fase independiente) observables?"

Conocer a una fase de vectores es saber toda la información (y también todos los de la fase de vectores) y por lo que sólo podría etiqueta de las partículas y asociar todos los ángulos relativos entre las partículas. De manera que la pregunta anterior es trivial como $0°=\Delta\varphi_{ii}$ y solo podemos decir que el $\Delta\varphi_{ij}$'s sólo están definidas para un cambio global (que necesariamente va a caer en el extremo de la computación), pero supongo que quieren excluir a los que engañar. Podríamos pensar, si no es una representación de la teoría de campo con $\varphi_{ij}$'s y $i\ne j$ o, lo que sería aún más difícil, si no es uno que sólo se utiliza el $n-1$ fijos $\Delta\varphi_{ij}$'s.

Como una nota del lado, las operaciones como el promedio de los ángulos $\int_\text{circle} f(\phi)\text d\varphi$ ni siquiera requieren que usted especifique un punto de base.

Answer 2

Permítanme refinar las matemáticas un poco. Así que usted tiene un conjunto $\Omega$ de los "puntos". Y tienen un número de diferencias de fase entre los puntos: $$P(x,y) = (p_x\to p_y) = e^{i\phi_{xy}}\,,\quad \mbox{for}\quad x,y\in \Omega$$ Estas diferencias deben satisfacer un conjunto de axiomas, como, supongo: $$\forall x\in\Omega, P(x,x) = 1$$ $$\forall x,y\in\Omega, P(x,y) = P(y,x)^*$$ $$\forall x,y,z\in\Omega, P(x,y)P(y,z) = P(x,z)$$

Que se parece mucho como grupo fundamental de la materia de homotopy teoría. Y creo que por una razón...

1 . Es la fase de simetría real, o es sólo un artefacto de uso de métodos matemáticos que asumir la existencia de un universal $0^\circ$ valor que no tiene significado físico, desde la fase sólo puede ser medido mediante el uso de pares de ubicaciones?

Bien, usted puede seleccionar cualquier punto de $x_0\in\Omega$ y, a continuación, cada elemento de a $\Omega$ tendrá asociada una fase de $\forall y\in\Omega, P(y)=e^{i\alpha}P(x_0,y)$ arbitrarias extra fase de $\alpha$. No puedo decir que no es "real", pero yo diría que esta construcción es "redundante" (aunque por lo general es más útil para el hormigón cálculos).

2 . Fase de flechas tienen su propia simetría, ya que cualquier conjunto de $n-1$ fase de flechas que se conecta $n$ de las partículas puede ser utilizado para representar sus relaciones de fase.

A la derecha, pero esta construcción no se representan todas las posibles cosas que podrían suceder. Recuerde Aharonov-Bohm efecto? Usted puede tener diferentes diferencias de fase en función de la ruta.

Así, se (nos) han hecho una descripción de un pequeño conectado parche de todo un conjunto de "puntos de fases", que tendrá que ser "pegado" a partir de estos parches, con posibilidad de topología no trivial.

4 . Si la fase de simetría es sólo un artefacto de asumir un global $0^\circ$, lo que hace que implica para expresar el electromagnetismo como una fase de simetría? ¿Qué cambiaría?

Pero estás hablando de la fase global de simetría, mientras que el electromagnetismo requiere arbitraria de la fase local de cambios. También se necesita un continuo colector de "puntos" para establecer una conexión.

En realidad, parece que esta discusión inevitablemente va a todo esto conceptos: Colectores, conexiones, homotopy y holonomy y esas cosas.

Answer 3

Si a las "relaciones de fase" vienen de fases fijas en diferentes puntos, y usted dice que cada enlace tiene una fase de $\theta_{ij}$ (la fase adquirido al ir del punto i al punto j), entonces usted tiene la propiedad de que la suma de todas las fases de alrededor de un circuito cerrado es cero (modulo $2\pi$).

Si usted hace una cuadrícula, dar las fases de $\theta_{ij}$ entre vecinos puntos, y quitar la restricción de que el producto de todos los números complejos en torno a una pequeña plaza (plaquette) es cero, se obtiene el discreto celosía U(1) teoría de gauge. Este es, en cierto sentido, la más primitiva de la formulación de la electrodinámica.

La declaración de que el electromagnetismo es una medición de una fase de simetría, es decir que las fases son relativos, y además, las fases son incompatibles, en la que usted puede tener un bucle donde no puedes elegir la fase de definición para establecer la relación de fase constante.

Esta es la definición estándar de gauge de la teoría, y creo que sería bueno para usted para leer sobre ella, para evitar el uso no estándar de notación. La invarianza de norma en los campos corresponde exactamente a su libertad para redefinir la fase cero de valor en cada punto, de forma arbitraria, y la "fase relativa de los valores" son el medidor de campo de los valores en los vecinos de celosía puntos. El continuum de la teoría de gauge sólo viene de hacer el enrejado infiniteismal.