Cómo "Principia Mathematica" construye cimientos

Question

Entiendo que "Principia Mathematica" intenta construir Fundaciones de las matemáticas. Para la comparación ZFC alcanza la misma tarea. Por lo que entiendo ZFC son axiomas formalizados en lógica de primer orden. Pregunta es qué es Principia basado en y por qué tuvo tantas páginas para probar 2 = 1 + 1. Sospecho que ésta es la tarea menos tediosa en ZFC.

Answer 1

Si usted está realmente interesado en esto, valdría la pena su tiempo para echar un vistazo a la real Principia y ver lo que hace y cómo lo hace. Hay algunas razones de por qué se tarda tanto tiempo para probar $1+1=2$.

Una razón es que el Principia comienza con considerablemente menos que los axiomas de ZF; se inicia con sólo cinco axiomas lógicos a lo largo de las líneas de $p\lor p \implies p$. No empezar con cualquier axiomas sobre conjuntos o relaciones o números.

Otra razón es que la base de la maquinaria no estaba totalmente desarrollado en 1911. En 2013, se podría definir un par ordenado de un cierto tipo de conjunto (normalmente, $\langle x, y\rangle {\buildrel \text{def}\over \equiv } \{\{x\}, \{x,y\}\} $) y, a continuación, definir una relación como un conjunto de pares ordenados. Este enfoque no se habían inventado todavía en el momento de Whitehead y Russell estaban escribiendo. Así que hay varios capítulos de Principia Mathematica que desarrollar propiedades de los conjuntos, y luego varias más capítulos que se desarrollan las propiedades de las relaciones que, desde el siglo 21, punto de vista, son completamente redundantes. También hay un capítulo sobre proposicional funciones de una variable, y luego de una muy similares capítulo sobre funciones de dos variables.

Pero la razón más grande para la longitud es de que el Principia demuestra todo en extremadamente pequeños pasos. Por ejemplo, un importante precursor de la $1+1=2$ es el teorema de $$∗54\cdot 43.⊢((α,β∈1)⊃((α∩β=Λ)≡(α∪β∈2)))$$ which says that if $\alfa$ and $\beta$ are sets that each have one element, then they are disjoint if and only if their union has exactly two elements. The steps in the proof are tiny. They start with the previously-proved $\ast 54\cdot 26$, which states that $\{x\}\cup\{y\}$ has two elements if and only if $x\ne s$. To get from there to $\ast 54\cdot 43$ tarda alrededor de doce pasos.

La hipótesis en un momento de la prueba incluyen que $\alpha$ $\beta$ son conjuntos con un elemento de cada uno. Ellos hablan de un teorema a la conclusión de que la $\alpha = \{x\}$ $\beta=\{y\}$ algunos $x$$y$. La mayoría de los tratamientos brillante sobre este punto. Luego que demuestren, a través de un anterior teorema $\ast51\cdot231$, $\{x\}\cap\{y\}$ está vacía. La mayoría de los tratamientos en este punto tendría como se ha podido comprobar que el $\alpha\cap \beta$ está vacía, pero en Principia Mathematica este es un explícito de la deducción, justificado por el teorema de $\ast13\cdot12$, lo que indica que si $x=y$, luego de un predicado $\psi$ es cierto de $x$ si y sólo si es verdadero de $y$.

Todos estos pequeños pasos, rápidamente se suman a una gran cantidad de papel.

Finalmente, Principia Mathematica no tomar 300 páginas a sólo prueban $1+1=2$. Hay una gran cantidad de explicaciones y de discusión, y mucho más se demostró además.

Escribí un artículo en el blog sobre esto un par de años atrás, que proporciona más detalles.

Answer 2

Tal vez el primer punto a remarcar es que los Principia es un tipo de teoría en lugar de una teoría de conjuntos-de hecho los autores oficialmente no creen en los sets, el pensamiento de que hablar, supuestamente, de esas cosas que necesita traducir de distancia.

Ahora, los lugares obvios que uno podría buscar en una cuenta de Russell y Whitehead, del tipo de la teoría y el proyecto en general de los Principia son, por desgracia, bastante ineficiente (me refiero a Wikipedia y la Enciclopedia de Filosofía de Stanford, cuyas respectivas entradas -- aquí y aquí -- no están a la altura de los mejores estándares). Pero pueden ayudar un poco, aunque aquí hay dos más graves sugerencias:

Para una discusión filosófica del proyecto, véase Ch.5 de Michael Potter excelente libro, la Razón del familiar más Cercano (OUP, 2000)

Para un excelente papel en la historia temprana de tipo de teorías por Fairouz Kamareddine, Twan Laan, y Rob Nederpelt que pone las cosas en perspectiva, ver aquí.

Pero ninguno de esos es precisamente fácil. Yo también estaría interesado en saber si, en algún lugar ahí fuera en la web, que alguien ha publicado una decentemente fiable de diez páginas exposición de lo que está pasando en Principia que se puede apuntar a los estudiantes.

Answer 3

Usted se refiere a la Russell--Whitehead "Principia" (en lugar de las de Newton); ver aquí. Russell fue un logicist programa destinado a la colocación de la lógica simbólica en la fundación de las matemáticas. ZFC es de la competencia del programa que coloca la teoría de conjuntos en la fundación, en su lugar. El logicist enfoque fue iniciado por Frege y fue mucho más popular en el comienzo del siglo 20 que es hoy. Quizás una de las razones es el número de páginas que se tomó para probar que 2=1+1 :-)