Usted realmente debe ser capaz de hacer esto directamente. Los cálculos no son desordenados en todo, en mi opinión. También, son rectas hacia adelante. También es una buena idea para simplificar la notación y uso de palabras más que de fórmulas. Esta manera de entender realmente lo que está pasando.
Se definen $F(U)$ a ser el conjunto de todas las familias $s=(s_i)$ secciones $s_i \in F_i(U \cap U_i)$ que son compatibles en el sentido de que $\phi_{ij}(s_j)=s_i$ todos los $i,j$. He simplificado la notación aquí: por supuesto que restringir $s_i$$s_j$$U \cap U_i \cap U_j$, y, por supuesto, aplicamos $\phi_{ij}$ en este subconjunto abierto.
Los mapas de restricción de $F$ son inducidos por los de $F_i$. Ellos están bien definidos debido a que el afirmado de compatibilidad se conserva por la restricción, que a su vez trabaja desde $\phi_{ij}$ viajes con mapas de restricción. Después de haber comprobado esto, es obvio que $F$ se convierte en un presheaf, el uso de la presheaf propiedades de la $F_i$.
Ahora, en cuanto a la primera gavilla de la condición, vamos a $s=(s_i)$ ser como el anterior, y $U = \cup_p W_p$ ser un abierto de la cubierta. Si $s$ es trivial en cada una de las $W_p$, esto significa que $s_i \in F_i(U \cap U_i)$ es trivial en cada una de las $W_p \cap U_i$. Pero ya que estos cubren $U \cap U_i$, se deduce $s_i=0$, para todos los $i$, por lo tanto $s=0$. (Para las poleas de conjuntos, usted puede ajustar este argumento fácilmente.)
Para el segundo gavilla condición, vamos a $s^p \in F(W_p)$ ser una familia de compatible secciones (compatibilidad significa que $s^p$ $s^q$ está de acuerdo en $W_p \cap W_q$). Esto significa que por cada $i$ tenemos una familia de compatible secciones $s^p_i \in F_i(W_p \cap U_i)$ con respecto a la cubierta de la $\{W_p \cap U_i\}$$W \cap U_i$. Desde $F_i$ es una gavilla, estos pegamento para una sección de $s_i \in F_i(W \cap U_i)$. Tenemos $\phi_{ij}(s_j)=s_i$$F_i(U \cap U_i \cap U_j)$, ya que esto es verdad cuando se limita a cada una de las $W_p \cap U_i \cap U_j$, ya que el $s^p \in F(W_p)$. Por lo tanto, $s:=(s_i) \in F(U)$ $s$ restringe a $s^p$ $W_p$ por la construcción.
Por lo tanto, $F$ es una gavilla.
El cocycle condición es que no sea necesario para hacer este trabajo de construcción. Ni siquiera necesitamos que el $\phi_{ij}$ son isomorphisms! Esto es especialmente claro en la categoría de la teoría de la construcción de la $F$, véase, por ejemplo, Zhen Lin respuesta aquí.
Pero hay una razón por la que normalmente se exige esta condición: Nos gustaría que la proyección de $F|_{U_i} \to F_i$ asignación de una sección de $s$ $s_i$es un isomorfismo. Simplemente construir una inversa por la asignación de $s_i$ $s$definido por $s_j = \phi_{ij}^{-1}(s_i)$ (aquí tenemos que $\phi_{ij}$ es un isomorfismo). Esto es consistente al $\phi_{ii}=\mathrm{id}$ (de los que vendrían de la cocycle condición). Por construcción $\phi_{ij}(s_j)=s_i$, pero para ser una sección de $F$, también necesitamos $\phi_{kj}(s_j)=s_k$ todos los $k$, es decir,$\phi_{kj} = \phi_{ki} \circ \phi_{ij}$, que es precisamente el cocycle condición. Uno, a continuación, comprueba que esta describe un mapa de $F_i \to F|_{U_i}$ que es inversa a la de la proyección.
Incluso hay un a priori de la motivación para el cocycle condición. Dado que encola el dato de poleas $(F_i,\phi_{ij})$, queremos encontrar una gavilla $F$ con isomorphisms $F|_{U_i} \cong F_i$, pero de tal manera que la inducida por isomorphisms $F_j|_{U_i \cap U_j} \cong F|_{U_i \cap U_j} \cong F_i|_{U_i \cap U_j}$ realmente la igualdad de $\phi_{ij}$. Pero estos isomorphisms obviamente satisfacer la cocycle condición: Si queremos componer (permítanme de nuevo simplificar la notación) $F_k \to F \to F_j$$F_j \to F \to F_i$, $F \to F_j \to F$ cancela a la identidad, de manera que obtenemos $F_k \to F \to F_i$. En otras palabras, en el siguiente diagrama, en el exterior del triángulo de desplazamientos debido a que los tres interiores de triángulos conmutar:
![cocycle]()
