¿Cómo puedo demostrar que si $A$ es compacto, entonces $A$ si es finito? (Bajo la métrica discreta)

Question

Dejemos que $\delta$ sea la métrica discreta sobre un conjunto no vacío $X$ . Caracterizar los subconjuntos de $X$ que son compactos en $(X, \delta)$ .

Recuerdo la respuesta de una clase anterior: $A \subseteq X$ es compacto $\iff A$ es finito.

He probado una forma en el general:

Supongamos que $S$ es un conjunto finito. Como sólo hay un número finito número de términos, no existe ninguna secuencia de términos distintos estrictamente en $S$ Así que $S$ no tiene ningún punto límite (y por tanto contiene todos ellos; es decir $\emptyset$ ). Además, como $S$ es finito, existe un máximo bien definido $M = \max \{|s| : s \in S\}$ . Así, $S$ está limitada por $M$ . Desde $S$ es cerrado y acotado, es compacto.

pero parece que no puedo ir por el otro lado. ¿Cómo puedo probar que, si $A \subset (X, \delta)$ es finito, entonces es compacto?

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He echado un vistazo a Demuestre que en un espacio métrico discreto, todo subconjunto es a la vez abierto y cerrado. pero hay que tener en cuenta que un conjunto infinito puede ser ciertamente acotado.

Answer 1

En primer lugar, en un espacio métrico, un subconjunto es compacto si, y sólo si, toda secuencia de elementos distintos en él tiene una subsecuencia convergente con límite en el subconjunto. Así, tu argumento para la primera mitad puede simplificarse ligeramente (y de hecho corregirse, ya que el criterio que utilizas para la compacidad no es del todo correcto): no hay secuencias de elementos distintos en un subconjunto finito, por lo que un subconjunto finito es compacto.

Ahora, supongamos que $A$ es compacto en $X$ . Supongamos que $A$ eran infinitas. Entonces hay alguna secuencia infinita de elementos distintos de $A$ . Por compacidad, esta secuencia tiene una subsecuencia convergente con límite $L\in A$ . Pero en la métrica de distrito, las únicas secuencias convergentes son las eventualmente constantes. Ninguna subsecuencia de un conjunto de elementos distintos es eventualmente constante, por lo que es una contradicción.

Observación: la formulación topológica de la compacidad (que es equivalente a la métrica (para los espacios métricos)), según la cual un conjunto es compacto si, y sólo si, toda cubierta abierta de él tiene una subcubierta finita, da el mismo resultado mucho más rápidamente. Si $A$ es compacta, entonces cúbrela con sus singletons. En la métrica discreta, cada singleton es abierto, por lo que se trata de una cobertura abierta. Por compacidad, $A$ debe ser cubierto por un número finito de sus singletons, por lo que es a su vez finito. A la inversa, si $A$ es finito y se da una cobertura abierta, entonces se diluye la cobertura abierta para contener, para cada elemento de $A$ , sólo un conjunto abierto que contenga ese elemento. Esto da una subcubierta finita.

Answer 2

Sugerencia Cada $\{a\}$ está abierto, por lo que $$A\subset\cup_{a\in A}\{a\}$$ es una cubierta abierta de $A$ y luego está la subcubierta finita...

Answer 3

En un espacio métrico, es falso en general que un conjunto cerrado acotado sea compacto (para un contraejemplo, considere $\{q \mid 2< q^2<3\}$ en $\mathbb{Q}$ ).

Se puede demostrar que un conjunto finito es siempre compacto en un espacio métrico utilizando coberturas abiertas o subsecuentes. A la inversa, en un espacio métrico discreto, se puede demostrar una secuencia sin subsecuencia convergente en cada conjunto infinito (o demostrar una cobertura abierta sin subcubrimiento finito).

Answer 4

Una pista: Demuestre que una secuencia en $(X, \delta)$ converge si y sólo si es eventualmente constante.

Answer 5

Dada cualquier cobertura abierta de cualquier conjunto finito, se puede encontrar fácilmente una subcobertura finita del conjunto. Entonces $A$ finito implica $A$ compacto.

Ahora, en la métrica discreta ningún conjunto tiene puntos límite. Entonces $A$ compacto y $A$ infinito no puede ser sostenido, pues si $E$ es un subconjunto infinito de $A$ entonces $E$ debe tener un punto límite en $A$ .