El Gaussiano $\mathbb{Z}[i]$ y Eisenstein $\mathbb{Z}[\omega]$ enteros se han utilizado para resolver algunos diophantine ecuaciones. Yo nunca he visto ninguna ejemplos de oro enteros $\mathbb{Z}[\varphi]$ utilizado en la teoría de los números, aunque. Si alguien pasa a conocer algunas de las ecuaciones que podemos aplicar esto y cómo se hace, me sería de gran aprecio!
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Mike
Puntos
1113
Aunque no es tan impresionante como el de George increíble respuesta, vale la pena señalar que el $\mathbb{Q}[\phi]$ (aunque no es $\mathbb{Z}[\phi]$, los elementos están en $\frac{1}{2}\mathbb{Z}[\phi]$) se muestra en la icosians (un subgrupo de orden 120 del grupo de la unidad de cuaterniones) y la teoría de la icosaédrica grupo y el 600-célula (e incluso, de forma tangencial, $E_8$); echa un vistazo a la página de la Wikipedia sobre el icosians para obtener más detalles. (Es, vagamente, una de mayores dimensiones de la versión de la descripción de los vértices del icosaedro como las esquinas del rectángulo dorado $(0, \pm 1, \pm \phi)$ y los otros dos rectángulos dado por un ciclo de permutaciones de las coordenadas)
Vin
Puntos
3945
Formalmente la Riemann zeta función puede ser expresada como
$$ \zeta(z)=\prod_{k=0}^{\infty}\;\;\prod_{p\in \mathbb{P}}\bigg\{\left( 1 -\varphi^{-1}\;p^{-5^{k}z} +p^{-2\cdot5^{k}z}\right)\left( 1 +\varphi\;p^{-5^{k}z} +p^{-2\cdot5^{k}z}\right)\bigg\} \;for\;z>1$$
donde $ \varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2} $ es la Proporción áurea. Esto se deduce del hecho de que los zeta de la función puede ser expresada como
$$ \zeta(z)=\prod_{p\in \mathbb{P}}\;\;\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{p^{k\;z}}$$
y después de algunas manipulaciones su fácil de conseguir por encima de la representación.
Para justificar esto, tomar la serie
$$
f(x)=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+x^{5}+x^{6}+x^{7}+x^{8}+x^{9}+x^{10}+x^{11}+x^{12}+\cdots
$$
podemos escribir esto como
$$
f(x)=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+x^{5}(1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4})+x^{10}(1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4})+\cdots
$$
o, equivalentemente,
$$
f(x)=(1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4})(1+x^{5}+x^{10}+x^{15}+x^{20}+x^{25}+x^{30}+x^{35}\cdots)
$$
y de nuevo
$$
f(x)=(1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4})(1+x^{5}+x^{10}+x^{15}+x^{20}+x^{25}(1+x^{5}+x^{10}+x^{15}+x^{20})+x^{25}(1+x^{5}+x^{10}+x^{15}+x^{20})+\cdots)
$$
o
$$
f(x)=(1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4})(1+x^{5}+x^{10}+x^{15}+x^{20})(1+x^{25}+x^{50}+x^{75}+x^{100}+\cdots)
$$
así, el patrón general es
$$
f(x)=\prod_{k=0}^{\infty}(1+x^{1\cdot 5^{k}}+x^{2\cdot 5^{k}}+x^{3\cdot 5^{k}}+x^{4\cdot 5^{k}})
$$
ahora hacer $y=x^{5^{k}}$, uno tiene que
$$
1+y+y^{2}+y^{3}+y^{4}=\left(y^{2}-\frac{\sqrt{5}-1}{2}y+1\right)\left(y^{2}+\frac{\sqrt{5}+1}{2}y+1\right)
$$
donde $\varphi=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$ $\frac{1}{\varphi}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
así
$$
1+y+y^{2}+y^{3}+y^{4}=\left(y^{2}-\frac{1}{\varphi}y+1\right)\left(y^{2}+\varphi y+1\right)
$$
ahora, recuerde que
$$
\zeta(s)=\prod_{p \in \mathbb{P}}\left(1+\frac{1}{p^{s}}+\frac{1}{p^{2}}+\frac{1}{p^{3}}+\frac{1}{p^{4s}}+\cdots \right)
$$
Utilizando el hecho de que $\mathbb{Z}[\varphi]$ es una única factorización de dominio en el que podemos descomponer $$ x^5+y^5=(x+y)(x^2+y^2-\varphi xy)(x^2+y^2-\bar\varphi xy),\quad\qquad{\rm(1)} $$ podemos dar una prueba del Último Teorema de Fermat para el caso de exponente 5. Aquí, estoy usando una barra de más de un número para indicar la conjugación, por lo $\varphi=(1+\sqrt{5})/2$$\bar\varphi=(1-\sqrt{5})/2$.
Teorema: no Hay soluciones a $x^5+y^5=z^5$ cero $x,y,z$$\mathbb{Z}[\varphi]$.
Es decir, para el exponente 5, FLT celebra en el ring $\mathbb{Z}[\varphi]$ y, en particular, se sostiene que en los enteros.
Antes de ir más lejos, tomemos nota de algunos datos acerca de la factorización en $\mathbb{Z}[\varphi]$. Como es bien sabido, es la norma Euclidiana, por lo que es una única factorización de dominio. Tenemos el primer factorizations $5=(\sqrt{5})^2$$11=q\bar q$, donde estoy configurando $q=4-\sqrt{5}$ (para el resto de este post). La identidad de $\varphi\bar\varphi=-1$ muestra que $\varphi$ es una unidad. De hecho, es una unidad fundamental, de modo que cada unidad en $\mathbb{Z}[\varphi]$ es de la forma $\pm\varphi^r$ por entero $r$. También será útil el uso de mod-q aritmética (con $q$ anterior). A continuación, $\varphi=(1+\sqrt{5})/2=8$ (mod p). Por lo tanto, cada elemento de la quotent $\mathbb{Z}[\varphi]/(q)$ es igual a un racional entero mod q. Como 11 = 0 mod p, esto da $\mathbb{Z}[\varphi]/(q)\cong\mathbb{Z}/(11)$. Así, mod-q aritmética en $\mathbb{Z}[\varphi]$ es exactamente el mismo que el mod-11 de la aritmética de los números enteros. En particular, cada 5-esima potencia es igual a la de $0,1,-1$ mod q. Aplicando esto a la ecuación de $x^5+y^5=z^5$ muestra que al menos uno de $x,y,z$ debe tener un factor de q. Dividiendo a través de su máximo factor común, se reduce al caso en que $x,y,z$ son coprime, por lo que exactamente uno de ellos es un múltiplo de q. Reorganización como $(-z)^5+y^5=(-x)^5$ si es necesario, nos puede traer siempre un múltiplo de q para el lado derecho. Esto reduce el problema a la siguiente.
Teorema 2: no Hay soluciones a $x^5+y^5=uz^5$ cero coprime $x,y,z\in\mathbb{Z}[\varphi]$ $u\in\mathbb{Z}[\varphi]$ unidad $q$ dividiendo $z$.
Vamos a probar esta demostrando que, si tenemos una solución, entonces podemos encontrar otra solución para que $xyz$ tiene menos estrictamente distintos factores primos. Aplicado a una solución mínima, esto daría una contradicción. Este es esencialmente el método de descenso utilizado por Fermat mismo para el caso de exponente 4.
Así, supongamos que tenemos una solución. Escrito $c_0=x+y$, $c_1=x^2+y^2-\varphi xy$ y $c_2=x^2+y^2-\bar\varphi xy$, (1) da la descomposición $uz^5=c_0c_1c_2$. También, $$ c_0^2-\bar\varphi c_1-\varphi c_2=0.\qquad\qquad{\rm(2)} $$ Nos gustaría mostrar que los factores de $c_0,c_1,c_2$ 5 - poderes, que será más fácil si se coprime. Utilizando el hecho de que $x,y$ son coprime a $z$, las identidades $$ \begin{align} &c_0^2-c_1=\sqrt{5}\varphi xy,\\ &c_0^2-c_2=-\sqrt{5}\bar\varphi xy,\\ &c_1-c_2=-\sqrt{5}xy \end{align} $$ muestran que el mayor factor común de $c_0^2,c_1,c_2$ 1 $\sqrt{5}$. Considere el caso donde $\sqrt{5}$ divide $z$. A continuación, se dividen también al menos uno de $c_i$, y las identidades anteriores muestran que divide a cada una de las $c_i$. En particular, el 5 divide $c_0^2$, de modo que las identidades anteriores muestran que $\sqrt{5}$ divide cada una de las $c_1,c_2$ exactamente una vez.
En el caso de que $z$ no es un múltiplo de a $\sqrt{5}$, pongámonos $\tilde c_0=c_0^2,\tilde c_1=c_1,\tilde c_2=c_2$ y, en el caso de que $\sqrt{5}$ divide $z$,$\tilde c_0=c_0^2/\sqrt{5},\tilde c_1=c_1/\sqrt{5},\tilde c_2=c_2/\sqrt{5}$. Estos son coprime y $$ \tilde c_0\tilde c_1^2\tilde c_2^2 = u^2\left(z^{2}/\sqrt{5}^{m}\right)^5 $$ donde $m=0$ si $\sqrt{5}$ no divide $z$ $m=1$ si lo hace. Como se coprime, cada primer factor de $z$ divide exactamente una de las $\tilde c_i$, y su exponente es un múltiplo de 5. Así, considerando el primer factorizations, cada una de las $\tilde c_i$ es igual a una unidad multiplicado por un quinto poder $w_i^5$. Por lo tanto, (2) da $$ u_0w_0^5+u_1w_1^5+u_2w_2^5=0 $$ para las unidades de $u_i$. Sin pérdida de generalidad, suponemos que $q$ divide $w_0$ y, dividiendo a través de por $-u_1$ si es necesario, vamos a suponer que $u_1=-1$. A continuación, $u_2=\pm1$ mod q. Sin embargo, al ser una unidad, tenemos $u_2=\pm(\varphi)^r=\pm 8^r$ (mod p), y, mirando en este mod 11, 5 debe dividir $r$. Por eso, $u_2$ es un quinto poder y, mediante la absorción de $-u_2^{1/5}$ a $w_2$, podemos tomar $u_2=-1$. Así hemos llegado a $$ w_1^5+w_2^5=u_0w_0^5. $$ Además, todos los factores primos de a $w_0w_1w_2$ son factores de $z$. Así, excepto en el caso de que $x,y$ son las unidades, tenemos una solución estrictamente menor número de factores primos, y hemos terminado.
Así que supongamos que tenemos una solución para Teorema 2. De forma iterativa, aplicando el procedimiento anterior seguirá generando nuevas soluciones y, a medida que el número de factores primos de a $xyz$ no puede disminuir de forma indefinida, debemos finalmente asentarse en el caso de que $x,y$ son unidades, por lo que el $x/y=\pm\varphi^r$. El intercambio de $x,y$ si es necesario, vamos a suponer que $r > 0$. A continuación, $q^5$ es un factor de $1\pm\varphi^{5r}$. El uso de la identidad de $\varphi^5=-1+\varphi^4q$, y aplicando el binomio de identidad, se puede ver que $rq$ debe ser un múltiplo de $q^{5}$, lo $r$ es un múltiplo de a $11^4$. En particular, $\vert x/y\vert=\vert\varphi\vert^r$ va a ser muy grande (nota, $\vert\varphi\vert^{11^4} > 10^{3000}$). A continuación, las definiciones de arriba para $c_0^2,c_1,c_2$ están dominados por la $x^2$ términos, por lo que los ratios de $\tilde c_i/\tilde c_j$ son cerca de uno. Ir a través de estos datos los límites de las proporciones $w_i/w_j$ y, en particular, ninguno de ellos será tan grande como la $\vert\varphi\vert^{11^4}$. Esto significa que no podemos tener $x,y$ $w_1,w_2$ todas las unidades. Así que, continuando con la inducción de generar soluciones, cada vez con menos factores primos, dando la necesaria contradicción.
Este método de acercarse a la FLT para el exponente 5 fue algo que se me ocurrió después de ver el exponente 3 caso en conferencias años. Es un poco tedioso tener que ocuparse por separado el caso en que $x,y$ son unidades. Tal vez que puede ser arreglada. Básicamente, la razón por la que este método funciona es porque $\mathbb{Z}[\varphi]$ consiste, precisamente, de la real algebraica de números enteros de la cyclotomic campo $\mathbb{Q}(\zeta_5)$.
user8269
Puntos
46
draks ...
Puntos
11418
Me pregunto por qué Binet la fórmula para calcular el número Fibonacci ya no se ha publicado. Aquí está: $$ F\left(n\right) = {{\varphi^n-(-\varphi)^{-n}} \over {\sqrt 5}}. $$ Desde que pidió $\mathbb Z(\varphi)$, reformularlo para $$ 5 F\left(n\right)^2 +2 = \varphi^{2n}+\varphi^{-2n}. $$ para conseguir una buena identidad para su Fibonacci enteros.
