de Rham comologies de $n$-Toro

Question

Estoy intentando calcular el de Rham cohomologies de la $n$toro: $n \choose k$.

Me gustaría usar una de Mayer-Vietoris secuencia relativa $H^kT^{n}$ $H^kT^{n-1}$ $H^{k-1}T^{n-1}$por lo que puede utilizar la identidad de ${n \choose k} = {n-1 \choose k} + {n-1 \choose {k-1}}$ para alcanzar el resultado por inducción. Pero estoy teniendo problemas con la elección de una cubierta abierta de la secuencia. La opción obvia sería dividir el toro a lo largo de uno de sus círculos, es decir, $T^n=T^{n-1} \times S^1=U \cup V$ $U=T^{n-1} \times (1/4,3/4)$ $V=T^{n-1} \times [0,1/2)\cup(1/2,1]$ donde estamos identificando el punto de $0$ $1$ hacer $[0,1]\cong S^1$.

Aquí está mi carne: Por la retracción $H^k U \cong H^k V \cong H^k T^{n-1}$ y tendríamos $$H^k(U \cap V)\cong H^k (T^{n-1}\sqcup T^{n-1})\cong H^k T^{n-1} \oplus H^k T^{n-1} \cong H^kU \oplus H^kV$$ so that the $T^{n-1}$ terms cancel each other out of the sequence and you just end up with $\sum_{k=0}^n (-1)^k \dim H^k T^n=0$, que es cierto, pero sólo es útil si me preocupaba acerca de la característica de Euler. ¿Estoy equivocada? Hay una mejor cobertura de la secuencia?

Answer 1

Su cubierta es fina. Echemos un vistazo más de cerca a los mapas de la definición de Mayer-Vietoris secuencia: $$H^{k-1}(T^{n-1})\oplus H^{k-1}(T^{n-1})\xrightarrow{f}H^{k-1}(T^{n-1}\sqcup T^{n-1})\xrightarrow{\partial}H^k(T^n)\xrightarrow{g}H^k(T^{n-1})\oplus H^k(T^{n-1})$$

A pesar de $f$ es un mapa entre dos espacios isomorfos, no es un isomorfismo, por tanto, los términos no cancelar. Deje $([\alpha],[\beta])\in H^{k-1}(T^{n-1})\oplus H^{k-1}(T^{n-1})$. Entonces tenemos

$$f(([\alpha],[\beta]))=[\alpha-\beta]$$

Me estoy poniendo un poco descuidado aquí con la notación, el uso de $\alpha$ en lugar de $i^*[\alpha]$. Del mismo modo, para $[\alpha]\in H^k(T^n)$, tenemos $$g([\alpha])=([\alpha],[\alpha])$$ de nuevo con la notación abreviada.

Finalmente, para cualquier $[\alpha]\in H^{k-1}(T^{n-1}\sqcup T^{n-1})$, podemos escribir $[\alpha]=[\beta]+[\gamma]$, reflejando la suma directa de descomposición en distintos componentes. Entonces $$\partial([\alpha])=[d\beta]=-[d\gamma]$$ donde $d$ es el exterior de derivados.

Ahora que hemos tenido un vistazo más de cerca a los mapas en la secuencia, a ver si se puede usar la exactitud de Mayer-Vietoris para mostrar que no es un corto exacta seqence: $$0\rightarrow H^{k-1}(T^{n-1})\rightarrow H^{k}(T^n)\rightarrow H^k(T^{n-1})\to 0$$

Desde que su resultado va a seguir.