Ejemplo cuando la desigualdad de triángulos falla en débil $L^p$ espacios

Question

Consideremos la cuasi-norma del débil $L^p(X,m)$ espacios: $$[f]_p=\sup_{t>0}\left\{t\, m\big(\{x:|f(x)|>t\}\big)^{1/p}\right\}.$$ Sabemos que no es una norma ya que la desigualdad del triángulo falla. ¿Puedes darme un ejemplo? Para simplificar podemos considerar sólo el caso $p=2$ .

Answer 1

Dejemos que $(X,m)$ sea el intervalo $[0,1]$ con la medida de Lebesgue. Supongamos que $1<p<\infty$ . Definir $f(x)=x^{-1/p}$ y $g(x)=f(1-x)$ . Claramente, $[f]_p=[g]_p=1$ . Por convexidad de $f$ la suma $f+g$ alcanza su mínimo en $x=1/2$ . Dado que este mínimo nos $2^{1+1/p}$ se deduce que $$[f+g]_p\ge 2^{1+1/p}>2=[f]_p+[g]_p$$