¿Para dos variables aleatorias $X_1, X_2$, siempre es necesariamente el caso que $E \left(e^{X_2}\mid e^{X_1}\right) = E\left(e^{X_2}\mid X_1\right)$? ¿Si no, en qué casos son así? Una explicación que leí en un libro es que el $X_1$ está aumentando en el $e^{X_1}$ pero que no tiene sentido para mí.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Creo que esto es lo mismo que un comentario ya dada, pero desde $X_1$ es funcionalmente dependiente de $e^{X_1}$ y viceversa, si usted tiene $e^{X_1}$, tienen exactamente la misma información como tener $X_1$. $X_1$ es sólo $ln(e^{X_1})$. Por lo tanto, son equivalentes.
Tenga en cuenta que esto funciona en este caso, pero no todos. Funcionará si la función es inyectiva o uno a uno (es decir, para un valor de $F(X_1)$ sólo hay un $X_1$ que puede conducir a ella).
No es especial para la función exponencial exactamente, pero para un contador de ejemplo, $E( X_2 \mid abs(X_1))$ no es necesariamente igual a $E( X_2 \mid X_1)$. Esto es debido a que el absoluto de la función no es inyectiva; si se nos dijo $abs(X_1)$ fue $2$, $X_1$ podría ser $-2$ o $2$, por lo que tenemos menos información que si sabíamos $X_1$ exactamente.
