¿Alguien me puede explicar esta suma?

Question

Así que tengo que resolver esta suma $$\sum _{i=0}^{n-1}\left(\sum _{j=i+1}^{n-1}\left(\sum _{k=j+1}^{n-1}\:\left(1\right)\right)\:\right)$ $

y esto que sé que la respuesta es $$\frac{n^3}{6}-\frac{n^2}{2}+\frac{n}{3}$ $

Pero ¿cómo puedo llegar a esta respuesta, alguien me puede explicar? Gracias

Answer 1

La suma vale % trillizos $(i,j,k)$$0 \leq i < j < k \leq n-1$, por lo tanto, los subconjuntos de 3 elementos de $n$-elemento set $\{0, 1, ..., n-1\}$. El número de tales subconjuntos es $\binom{n}{3} = \frac{n^3}{6} - \frac{n^2}{2} + \frac{n}{3}$.

Answer 2

Podemos usar la identidad $$ \sum_{k=m}^n\binom{k}{m}=\binom{n+1}{m+1}\tag{1} $$ tres veces para conseguir $$\begin{align} \sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=i+1}^{n-1}\sum_{k=j+1}^{n-1}1 &=\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{n-1}\sum_{k=0}^{n-j-2}\binom{k}{0}\tag{2}\\ &=\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=i+1}^{n-1}\binom{n-j-1}{1}\tag{3}\\ &=\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{n-i-2}\binom{j}{1}\tag{4}\\ &=\sum_{i=0}^{n-1}\binom{n-i-1}{2}\tag{5}\\ &=\sum_{i=0}^{n-1}\binom{i}{2}\tag{6}\\[3pt] &=\binom{n}{3}\tag{7}\\[6pt] &=\frac{n^3-3n^2+2n}6\tag{8} \end {Alinee el} $$ explicación:
$(2)$: reindexar $k\mapsto n-1-k$, escriba $1$ $\binom{k}{0}$
$(3)$: Aplique $(1)$
$(4)$: reindexo $j\mapsto n-1-j$
$(5)$: Aplique $(1)$
$(6)$: reindexo $i\mapsto n-1-i$
$(7)$: Aplique $(1)$
$(8)$: ampliar el coeficiente binomial

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Sigue de $(1)$de % de identidad de la repetición para el triángulo de Pascal y el telescoparse suma $$\begin{align} \sum_{k=m}^n\binom{k}{m} &=\sum_{k=m}^n\left[\binom{k+1}{m+1}-\binom{k}{m+1}\right]\\ &=\binom{n+1}{m+1}\tag{9} \end{alinea} $$

Answer 3

$$\sum _{i=0}^{n-1}\left(\sum _{j=i+1}^{n-1}\left(\sum _{k=j+1}^{n-1}\:\left(1\right)\right)\:\right)$$

Si quieres hacerlo por la vía difícil, sólo seguir el orden de las operaciones y calcular las sumas interiores primero:

$\sum_{k=j+1}^{n-1} 1=(n-1)-(j+1)+1=n-j-1$ porque están añadiendo 1 que muchas veces.

$\sum_{j=i+1}^{n-1} (n-j-1)=\sum_{j=i+1}^{n-1}n-\sum_{j=i+1}^{n-1} j-\sum_{j=i+1}^{n-1}1=n\cdot(n-i-1)-\left(\dfrac{1}{2}(n-i-1)(n+i)\right)-(n-i-1)=\dfrac{1}{2}(n-i-1)(n-i-2)$

Usted debe poder encontrar con el mismo acercamiento que $\sum_{i=0}^{n-1} \dfrac{1}{2}(n-i-1)(n-i-2)=\dfrac{n^3}{6}-\dfrac{n^2}{2}+\dfrac{n}{3}$

Answer 4

Aquí está un pequeño suplemento con enfoque en convenio notacional que podría ser útil.

\begin{align*} \sum_{i=0}^{n-1}1&=\sum_{0\leq i\leq n-1}1=\binom{n}{1}=n\\ \sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=i+1}^{n-1}1&=\sum_{0\leq i<j\leq n-1}1=\binom{n}{2} =\frac{n^2}{2}-\frac{n}{2}\\ \sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=i+1}^{n-1}\sum_{k=j+1}^{n-1}1&=\sum_{0\leq i<j<k\leq n-1}1=\binom{n}{3} =\frac{n^3}{6}-\frac{n^2}{2}+\frac{n}{3}\\ \end{align*}

Answer 5

$$\begin{align} \sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=i+1}^{n-1}\sum_{k=j+1}^{n-1}1 &=\sum_{k=2}^{n-1}\sum_{j=1}^{k-1}\sum_{i=0}^{j-1}\binom i0 &&\text{as }0\le i<j<k\le n-1\\ &=\sum_{k=2}^{n-1}\sum_{j=1}^{k-1}\binom j1\\ &=\sum_{k=2}^{n-1}\binom k2\\ &=\binom n3\\ &=\frac {n^3}2-\frac{n^2}2+\frac n3\qquad\blacksquare\end {Alinee el} $$