¿Por qué los grupos abelianos son amenables?

Question

Un grupo (discreto) es susceptible si admite una medida de probabilidad finitamente aditiva (en todo sus subconjuntos), invariante bajo la traslación a la izquierda. Es un hecho básico que todo grupo abeliano es amenable. Pero la prueba que conozco es sorprendentemente enrevesada. Me gustaría saber si hay una prueba más directa.

La prueba que conozco es la siguiente.

1. Todo grupo finito es susceptible (de forma única). Esto es trivial.

2. $\mathbb{Z}$ es susceptible. Esto no es trivial hasta donde yo sé; la prueba que conozco implica elegir un ultrafiltro no principal en $\mathbb{N}$ . Esto significa que $\mathbb{Z}$ es susceptible de muchas formas diferentes, es decir, hay muchas medidas en ella, pero aparentemente no se puede escribir ninguna medida 'explícitamente' (sin usar el Axioma de Elección).

3. El producto directo de dos grupos amenables es amenable. Esto no es exactamente trivial, pero la medida sobre el producto se construye al menos canónicamente a partir de las dos medidas dadas.

4. Todo grupo abeliano finitamente generado es amenable. Esto se deduce de 1--3 y del teorema de clasificación.

5. La clase de los grupos amenables es cerrada bajo límites directos (=límites sobre un poset dirigido). Esto es como el paso 2: parece que no hay canónico manera de construir una medida sobre el límite directo, dadas las medidas sobre cada uno de los grupos con los que se empieza; y la prueba implica elegir un ultrafiltro no principal sobre el poset.

6. Todo grupo abeliano es amenable. Esto se deduce de 4 y 5, ya que todo grupo abeliano es el límite directo de sus subgrupos finitamente generados.

¿Hay una prueba más directa? ¿Existe siquiera una prueba de un solo paso?

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Actualización Yemon Choi sugiere una simplificación inmediata: sustituir 1 y 4 por

1'. Todo cociente de un grupo amenable es amenable. Esto es sencillo: sólo hay que adelantar la medida.

4'. Todo grupo abeliano f.g. es amenable, por 1', 2 y 3.

De este modo se evita utilizar el teorema de clasificación para los grupos abelianos f.g.

Tom Church menciona la posibilidad de saltarse los pasos 1--3 e ir directamente al 4. Si lo he entendido bien, esto tampoco utiliza el teorema de clasificación. El argumento es similar al de $\mathbb{Z}$ : todavía hay que elegir un ultrafiltro en $\mathbb{N}$ . (También se construye una secuencia de Følner en el grupo, una parte del argumento que no mencioné anteriormente pero que estaba ahí todo el tiempo).

Tanto Yemon como Tom y Mariano Suárez-Alvarez sugieren utilizar una u otra formulación alternativa de la amenidad. Definitivamente me interesan las respuestas así, pero también me recuerda el viejo chiste:

Turista: Disculpe, ¿cómo puedo llegar al Castillo de Edimburgo desde aquí?

Local: Yo no empezaría por aquí si fuera tú.

En otras palabras, si una prueba de la amenidad de los grupos abelianos utiliza una definición de amenidad diferente a la que yo he dado, entonces quiero tener en cuenta la prueba de equivalencia al evaluar la simplicidad de la prueba global.

Jim Borger señala que si, como parece ser el caso, incluso la prueba que $\mathbb{Z}$ es susceptible de hacer un uso esencial del Axioma de la Elección, entonces la vida está destinada a ser dura. Acepto su punto de vista. Sin embargo, una simplificación de la prueba de 6 pasos que me gustaría ver es una fusión de los pasos 2 y 5. Estos son los dos pasos realmente importantes, pero son intrigantemente similares. Ninguna de las respuestas hasta ahora parece hacer esta economía. Es decir, cada prueba sugerida parece implicar dos argumentos de tipo Følner separados.

Answer 1

Existe un enfoque algo más rápido que el expuesto por Mariano, utilizando el Teorema del punto fijo de Markov-Kakutani . La primera vez que me enteré de esto fue por el libro de Rudin Análisis funcional -- Más exactamente, recuerdo haber ojeado esa parte cuando era un estudiante con dificultades, y años más tarde, una vez que oí hablar de la amenidad, me di cuenta de la conexión. (Que yo sepa, la palabra "susceptible" nunca se menciona en el libro).

La demostración se puede encontrar a través de los teoremas 5.23, 5.24 y 5.25 del mencionado libro (2ª ed. si eso supone alguna diferencia) y no creo que pueda mejorar la exposición allí.

(En cuanto al planteamiento que esboza Tom: tal vez valga la pena observar que la amenidad pasa a los grupos cotizantes (esto es particularmente obvio utilizando la media invariante, pero probablemente no es demasiado difícil en la mayoría de las otras formulaciones). Por lo tanto, pasar de 3 a 4 no necesita el teorema de clasificación).

Una vaga observación sobre posibles rutas alternativas. Desde un punto de vista, la formulación de "media invariante" de la amenidad es sólo una forma conveniente de evitar los argumentos épsilon-delta con Redes Folner . Ahora, las secuencias de Folner se pueden construir fácilmente en ${\mathbb Z}^n$ para cualquier $n$ -- sólo hay que tomar cubos centrados en el cero de una anchura cada vez mayor -- pero por el momento no puedo precisar cómo transferir la construcción a grupos abelianos arbitrarios. (Por supuesto, las cosas serían más fáciles si pudiéramos pasar a la formulación con una media invariante; pero entonces uno también podría trabajar con la media invariante en todo momento).

Answer 2

Creo que la prueba más clara de la amenidad de los grupos topológicos abelianos es el teorema del punto fijo de Markov-Kakutani: véase la prueba de media página de este resultado como Teorema G.2.1 en MR2415834 (2009i:22001) Bekka, Bachir; de la Harpe, Pierre; Valette, Alain La propiedad de Kazhdan (T). New Mathematical Monographs, 11. Cambridge University Press, Cambridge, 2008. xiv+472 pp. ISBN: 978-0-521-88720-5

Answer 3

La forma en que lo he visto ha sido también con el teorema del punto fijo de Markov-Kakutani. Los pasos son estos:

Definir primero $$ K= \lbrace \Phi\in l^{\infty}(G)^\ast \mid \lVert\Phi\rVert\le1,\Phi(F)\ge0\text{ whenever }F(g)\ge0\text{ for all }g\in G\rbrace. $$

1. Equipar $l^{\infty}(G)^\ast $ con los débiles $^\ast$ -topología. Demostrar que $K$ es débil $^\ast$ compacto y convexo.

2. Definir para cada $g\in G$ el mapa $$ T_g:K\to K:(T_g(\Phi)(F)=\Phi(F\cdot g). $$ Demostrar que cada $T_g$ , $g\in G$ es débil $^\ast$ continua y afín.

3. Desde $G$ es un grupo conmutativo, podemos aplicar el teorema del punto fijo de Markov-Kakutani a la familia $\lbrace T_g \mid g\in G\rbrace$ de mapas afines de $K$ a $K$ . Así, obtenemos $\Phi\in K$ tal que $T_g\Phi=\Phi$ para todos $g\in G$ . Definir $m(A)=\Phi(\chi_A)$ siempre que $A\subset G$ y comprobar que $m$ es una media invariante en $G$ .

Answer 4

Aquí hay (creo) un argumento más simple, combinando 1--6 en un solo paso. (Asumo que aquí el grupo es contable; no puedo saber si te interesan los grupos discretos incontables, pero no tengo ni idea de qué problemas, si los hay, surgen allí).

Dejemos que $G$ sea un grupo abeliano contable generado por $x_1,x_2,\ldots$ . Entonces se da una secuencia de Følner tomando $S_n$ para ser la pirámide formada por elementos que se pueden escribir como

$a_1x_2+a_2x_2+\cdots+a_nx_n$ con $|a_1|\leq n,|a_2|\leq n-1,\ldots,|a_n|\leq 1$ .

La medida de probabilidad invariante se define entonces por $\mu(A)=\underset{\omega}{\lim}|A\cap S_n| / |S_n|$ como siempre.

Una forma más natural de expresar este argumento es:

1. El grupo contable $\mathbb{Z}^\infty$ es susceptible.
2. Todos los grupos abelianos contables son amenables, porque la amenidad desciende a los cocientes.

Pero me gustaría subrayar que en realidad sólo hay un paso aquí, porque la prueba para $\mathbb{Z}^\infty$ se aplica automáticamente a cualquier grupo abeliano contable. Sin embargo, este enfoque de dos pasos es más fácil de recordar. (Las ideas aquí son las mismas que en mi otra respuesta, pero creo que esta formulación es mucho más limpia).

Answer 5

El más simple argumento para que me guarde en mi cabeza (nada de esto es original, incluso a este hilo):

1. $\mathbb{Z}^n$ es susceptible (porque el cubo del radio de la $k$ da un Følner secuencia).
2. Por lo tanto finitely generado abelian grupos son susceptibles de ser (porque de conveniencia desciende a los cocientes).
3. Por lo tanto (discreto) abelian grupos son susceptibles de ser (porque localmente susceptibles de grupos son susceptibles).

Cada una de estas propiedades es más fácil de probar usando un diferente caracterización de conveniencia, así que esto no puede ser pedagógicamente óptimo, pero como ya sabemos las caracterizaciones son equivalentes que no tiene que preocuparse por eso. Cada uno de los parentheticals de arriba es una propiedad de la que todo el mundo debería tener en mente cuando se trata con susceptibles de grupos, por lo que este argumento también sirve para recordarme lo que es cierto en el caso de que se me olvide. De curso 1 y 2 pueden ser combinados (la bola de radio $k$ da un Følner secuencia en cualquiera de f.g. abelian grupo, sin necesidad de ser gratis) o deducida de manera diferente (es posible que prefiera para justificar el 2 lugar por "prácticamente susceptibles de grupos son susceptibles de" o "susceptible de-por-susceptibles de grupos son susceptibles de ser"), pero yo prefiero este enfoque debido a que no depende de la clasificación de f.g. abelian grupos.

[Edit: sobre la releyendo, veo que más de esto que me di cuenta de que ya estaba presente en Yemon la respuesta y los comentarios, así que lo estoy haciendo de esta wiki de la comunidad.]

Segunda edición: en los comentarios, Tom Leinster se le preguntó acerca de ver directamente que f.g. abelian grupos son susceptibles. Aquí están mis pensamientos: si se asume la clasificación y escribir $G=\mathbb{Z}^n\times T$ $T$ finito, esto es fácil. Geométricamente, la más natural Følner secuencia es el cubo-de-radio-$k\times T$, pero cualquier cosa que trate de trabajo. Si usted no desea utilizar la estructura teorema, quiero señalar que si $G$ es abelian y tiene rango de $n$, entonces se tiene el polinomio de crecimiento de rango en la mayoría de los $n$; de ello se sigue que la bola de radio $k$ da un Følner secuencia. (Arriba, yo implícitamente criticado este enfoque; que era porque para acotar la tasa de crecimiento sin el conocimiento de la estructura del grupo, que dominan por el crecimiento de la libre abelian grupo. Así, este parecía ser sólo un oculto apelar a mi paso 2 anterior. Es perfectamente válido).

Ambos enfoques dan un Følner secuencia (porque esa es la definición de susceptibles entiendo mejor). Si prefieres las invariantes media de definición, que está bien, pero todavía hay valor en que se pegue con Følner secuencias como usted puede. De la manera más simple posible prueba sin depender de ningún equivalencias, yo haría lo siguiente:

1. Finitely generado abelian grupos de admitir Følner secuencias (por ejemplo, la bola de radio $k$).
2. Si $G$ está contables y cada una de las f.g. subgrupo de $G$ admite un Følner secuencia, a continuación, $G$ es susceptible (admite un invariante f.una. la probabilidad de medir).

Para ver 2, elegir un aumento de la secuencia de f.g. subgrupos $G_i < G$ que agota la $G$, y deje $S_i^n$ ser un Følner secuencia de $G_i$; se puede considerar que la $S_i^n$ como subconjuntos de a $G$. A continuación, la medida que tenemos es la "densidad asintótica"

$\mu(A) = \underset{i\to \omega}{\lim}\underset{n\to\omega}{\lim}\ \ \vert A\cap S_i^n\vert / \vert S_i^n\vert$

donde $\omega$ es un no-director de ultrafilter de modo que los límites no existen. Esto es claramente un finitely aditiva de la probabilidad de medida, y a ver que es invariante tenga en cuenta que todos los $\gamma\in G$ se encuentra en todas las $G_N$ $N$ lo suficientemente grande.