¿Es convergente la serie $\sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{2^{\sqrt n}}$?

Question

¿Esta serie es convergente? $$\sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{2^{\sqrt n}}$$

Edit: lo siento que escribí una negativa doble. Esta es la serie. (gracias Brian M. Scott por editar)

Answer 1

Tenga en cuenta que $2^{\sqrt{n}}=e^{(\log 2)\sqrt{n}}$.

Observando la expansión de series de potencias de $e^x$, podemos ver que % positivas $x$, tenemos $e^x\gt \frac{x^8}{8!}$. Así $$e^{\log 2\sqrt{n}}\gt \frac{(\log 2)^8}{8!}n^4.$ $

Así que el término de $n$-th de la secuencia es $\lt \frac{8!}{(\log 2)^8}\frac{1}{n^2}$. Comparación con la serie convergente $\sum\frac{1}{n^2}$ muestra que la serie converge.

Answer 2

Usted escribió

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{2^{-\sqrt n}}=\sum_{n=1}^\infty 2^{\sqrt n}n^2$$

Pero esta serie diverge claramente desde $\,2^{\sqrt n}n^2\rlap{\;\;\;\;/}\xrightarrow[n\to\infty]{} 0\,$

Answer 3

No, no es convergente, ya que el $n^2/2^{-\sqrt n}\to\infty$ $n\to\infty$. Pero $$ \sum_{n=1}^\infty\frac{n^2}{2^{\sqrt n}} $ $ converge, porque los sumandos de marcas de verificación van a cero más rápido que $1/n^2$ % lo suficientemente grande como $n$.

Answer 4

$$\frac{n^2}{2^{-\sqrt{n}}}={n^2}{2^{\sqrt{n}}}$$which does not converge to $0$. Por lo tanto, la serie no puede converger.