Infinitamente muchos números primos de la forma $8n+1$

Question

Estoy buscando en este divertido pequeño problema que implica la prueba de la existencia de un número infinito de números primos de una determinada forma:

Demostrar que existen infinitos números primos que se puede expresar en la formulario de $8n+1$ donde $n$ es un entero positivo.

Mi prueba es como sigue:

Asumir por medio de la contradicción que hay sólo un número finito de tales números primos, decir $p_1,p_2,\ldots,p_r$. Considere la posibilidad de $p = 16p_1^4p_2^4\cdots p_r^4 +1 = (2p_1p_2 \cdots p_r)^4+1$. Recordemos que la congruencia $x^4 \equiv -1 \mod p$ tiene solución si y sólo si $p \equiv 1 \mod 8$. $p$ no puede ser un primo de la forma $8n+1$, pero $p \equiv 1 \mod 8$, contradicción. Por lo tanto, debe ser infinitos números primos de la forma $8n+1$.

No estoy muy seguro de si realmente lograr una contradicción aquí. Me puedes ayudar a aclarar esto?

Answer 1

Esta idea parece muy bien, aunque aviso que $p$ no tiene que ser el número sí mismo, pero puede ser uno de sus divisores.

$16p_1^4p_2^4\ldots p_r^4+1$ debe tener un divisor principal $p$ y no es uno de lo existente $p_i$, no es 2. Además cumple con la congruencia $x=2p_1p_2\ldots p_r$$x^4+1\equiv 0 \pmod p$ y por lo tanto $p\equiv 1\pmod 8$, una contradicción.

Answer 2

Reclamación:

Los divisores primeros impares de $n^4+1$ son de la forma $8k+1$

De $n^4\equiv -1\pmod{p}$ tenemos $n^8\equiv 1\pmod{p}$, por lo tanto el orden de $n$ modulo $p$ $8$ y el siguiente teorema:

Si $a$ es del orden de $k$ modulo $n$, entonces $a^h\equiv 1\pmod{n}$iff $k|h$. También $k|\phi(n)$.

Sigue que $8|\phi(p)$, o en otras palabras: $p=8k+1$.