Encontrar la suma de números términos de la serie

Question

Halle la suma de los n términos de la serie

$$\frac {\sin x}{\cos x+\cos2x} + \frac {\sin2x}{\cos x+\cos4x} + \frac {\sin3x}{\cos x + \cos6x} +\dotsb $$

¿Cómo puedo solucionar esto?

Aquí es lo que yo hice para el primer término:

$$\frac {\sin\bigl(\frac{3x}{2} - \frac x2\bigr)} {2\cos\bigl(\frac{x}{2}\bigr)\cos\bigl(\frac {3x}{2}\bigr)}$$

Después de la apertura de $N^r$ $\sin(A-B) = \sin A\cos B - \cos A\sin B$ tenemos

$$ \frac 12\left(\tan\frac {3x}{2} - \tan\frac {x}{2}\right)$$

Pero esto no funciona para el resto de los términos. Me estoy perdiendo algo aquí o este método es completamente equivocado? Cualquier sugerencias? Ayuda por favor!

edit : por Favor, dar una sugerencia. Quiero hacerlo por mi cuenta :)

Answer 1

Así que pensé la respuesta:

$ S = \frac {sinx}{cosx+cos2x} + \frac {sin2x}{cosx+cos4x}+ \frac {sin3x}{cosx+cos6x} + \quad ...$

Multiplique ambos lados por $2sin\frac x2$

Tomar el primer término:

$$\frac {2sin\frac x2sinx}{cosx+cos2x}$$

$$\frac {cos\frac{x}2-cos\frac {3x}2} {2cos\frac {3x}2cos\frac x2}$$

$$\frac 12(sec \frac {3x}2- sec \frac{x}2)$$

Ahora por el mismo método de extender esto a $n\ terms$ y agregarlos

Finalmente llegamos,

$$2sin\frac x2S = \frac 12(sec (2n+1)\frac x2- sec \frac x2)$$

$$\therefore \quad S = \frac 14cosec\frac x2(sec(2n+1)\frac x2 - sec\frac x2)$$

Esta es la respuesta.