Relación de las bolas en una caja de

Question

Una caja contiene algunas idénticas a las pelotas de tenis. La proporción del total de volumen de las pistas de tenis bolas para el volumen de espacio vacío que los rodea en el cuadro de es $1:k$ donde $k$ es un número entero mayor que uno. Un primer número de bolas es retirado de la caja. La proporción del volumen total de la resto de pelotas de tenis para que el volumen de espacio vacío que los rodea en el cuadro 1:$k^2$. Encontrar el número de pelotas de tenis, que originalmente estaban en la caja.

Un par de preguntas con respecto a este problema: ¿La forma de la caja de la materia? Acabo de dejar el volumen de la caja sea una constante $V$. También he notado que la relación $\frac{1}{k^2} = \left( \frac{1}{k} \right)^2$. es decir. Nueva relación es el viejo proporción al cuadrado. Yo también deje que la cantidad de bolas en el cuadro de se $n$ y la cantidad de bolas sacado ser $p$ donde $p$ es un número primo, por lo que la nueva cantidad de bolas en la caja es $n-p$.

Esto es sobre todo lo que podría hacer en este problema, pero me gustaría ser guiados hacia la solución del problema (y yo también estoy interesado en tus procesos de pensamiento y lo que las ideas que inicialmente creo que de lo que se puede obtener una mejor idea de qué pensar de cuando se realiza la resolución de problemas) que acaba de ser dado la solución.

Su ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Deje $n$ el número de bolas, $p$ el número de bolas y $V$ ser el volumen de la caja.

Cuando vi por primera vez el problema, lo que destaca es la condición "$p$ es un excelente". Esto nos sugiere la instalación de algunas de las ecuaciones que entre $n$, $k$ y $p$ y, a continuación, utiliza esta condición supone la restricción de la $k$. Si hacemos eso, tenemos

$$n ( 1 + k ) = V = (n - p)(1 + k^2)\quad\implies\quad p(k^2+1) = nk(k-1)$$

Ahora $p$ está en el lado izquierdo junto con el factor de $k^2+1$. El uso de la condición de "$p$ es un excelente", probablemente necesitemos para elegir un factor de $?$ de HR, de modo que $\gcd(?,k^2+1) = 1$. $k$ parece para hacer el trabajo,

$$k |p(k^2+1)\quad\stackrel{\gcd(k,k^2+1)=1}{\implies}\quad k | p \quad\stackrel{p \text{ is prime}}{\implies}\quad k = p$$

Una vez que tengamos esto, el paso que sigue es obvio. Expresamos $n$ en términos de $k = p$ y ver qué podemos hacer con eso.

$$n = \frac{k^2+1}{k-1} = k + 1 + \frac{2}{k-1}\quad\stackrel{n\text{ es un entero}}{\implica}\quad k = 2 \text{ o }3 \implica n = \frac{k^2+1}{k-1} = 5 $$ El resultado simplemente de la siguiente manera. $$(n,p,V) = (5,2,15) \text{ or } (5,3,20)$$

Answer 2

La relación de $1:k$ significa, en particular, que si $\alpha$ es el volumen total de las bolas originalmente en el cuadro, a continuación, $k\alpha$ es el volumen total del espacio vacío que los rodea en el cuadro. En general, si $V_t$ es el volumen total de las pelotas de tenis y $V_b$ es el volumen total de la caja, entonces el volumen total de espacio vacío que rodea las pelotas de tenis en la caja es $V_b-V_t.$ (Esto no tiene nada que ver con la forma de la caja. Simplemente necesitamos la casilla de ser lo suficientemente grande que puede contener todas las pelotas de tenis originalmente en él, y aún así ser cerrado). Lo que esto significa es que el volumen total de la caja (que no se cambia) es $\alpha+k\alpha=(1+k)\alpha.$

Ahora, supongamos que hay $n$ bolas en la caja originalmente, y ya que todos ellos son pelotas de tenis, entonces podemos asumir que todos ellos tienen el mismo volumen. (De hecho, si tenían diferentes volúmenes, no habría manera de hacer el problema, por lo que necesita para asumir.) Decir que el volumen de una pelota de tenis individual es $\beta.$ $\alpha=n\beta,$ por lo que el volumen de la caja es $(1+k)n\beta.$

A continuación, se nos quite un primer número de bolas de la caja, decir $p,$, de modo que ahora hay $n-p$ bolas en la caja, por lo que el volumen total de las pelotas de tenis restante es $(n-p)\beta.$ El volumen total de la caja es de $(1+k)n\beta,$, de modo que el volumen total del espacio vacío alrededor el resto de pelotas de tenis en la caja es $$(1+k)n\beta-(n-p)\beta=n\beta+kn\beta-n\beta+p\beta=(kn+p)\beta.$$ By assumption, then, the ratio $1:k^2$ is the same as the ratio $(n-p)\beta:(kn+p)\beta,$ which is clearly the same as $n-p:kn+p.$ This means that $$kn+p=k^2(n-p)\\kn+p=k^2n-k^2p\\k^2p+p=k^2n-kn\\(k^2+1)p=(k^2-k)n.$$ Now, note that since we removed a prime (so non-zero) number of balls from the box, then our new ratio cannot be the same as our old one--that is, $k^2\ne k$--so we may divide by $k^2-k$ to get $$n=\frac{k^2+1}{k^2-k}p.$$ At this point, I don't think there's much more we can say, unless there's some additional information about $k,p,$ or $n$ that you haven't shared. We can conclude readily that $\frac{k^2+1}{k^2-k}$ is a rational number greater than $1,$ but that doesn't really help to determine what $n$ tiene que ser (al menos, no tan lejos como puedo ver).

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Oops! Me he perdido la condición de que $k$ era un entero! Ignorar "Ahora, tenga en cuenta que desde que se retira...por lo que puedo ver)."

Ahora, desde la $k$ es un número entero, entonces $k^2+1$ $k^2-k$ son enteros. En particular, desde la $$(k^2+1)p=k(k-1)n,$$ then $k\mid(k^2+1)p,$ so since $k$ and $k^2+1$ are relatively prime, then we must have that $k\mid p.$ Since $p$ is prime and $k$ is an integer greater than $1,$ it then follows that $k=p,$ so we have $$(k^2+1)p=(k-1)np\\k^2+1=(k-1)n\\k^2+1=kn-n\\k^2-kn+n+1=0.$$ This gives us a quadratic in $k,$ whose solutions are $$\begin{align}k &= \frac{n\pm\sqrt{n^2-4(n+1)}}2\\ &= \frac{n\pm\sqrt{n^2-4n-4}}2.\end{align}$$ Since $k$ is an integer, then we require $\sqrt{n^2-4n-4}$ to be rational, which means it must be a positive integer, say $m.$ Hence, $$n^2-4n-4=m^2\\n^2-4n+4-8=m^2\\(n-2)^2-8=m^2\\(n-2)^2-m^2=8\\\bigl((n-2)+m\bigr)\bigl((n-2)-m\bigr)=8\\(n-2+m)(n-2-m)=8.$$ Since $m$ is a positive integer, then we can conclude that $m=1,$ whence $n=5.$ (Se los dejo a ustedes para mostrar esto.)

Answer 3

Usted ha hecho lo que usted se puede mover en la dirección correcta. Como se observa, nada dice acerca de la forma de la caja, por lo que el único elemento relevante parece ser el volumen, $V$. Hay también el volumen de una pelota individual. Podemos (por el cambio de nuestra unidad de medida si es necesario) asumen que este volumen es 1. Esto significa que tenemos

estado inicial: n bolas; caja volumen $V = nk$.

estado final: n-p bolas, caja volumen $V = (n-p)(k^2)$

Así que ya sabes que $nk = (n-p) k^2$. Podemos dividir ambos lados por $k$ (sólo estoy siguiendo mi nariz aquí!) para obtener

$$ n = (n-p) k $$

En este punto, me gustaría figura que podría probar improvisando. Usted diría "$n$ tiene un compuesto, debido a que el lado derecho es una factorización de la misma, a menos que $k = 1$. Pero eso no es posible, porque sería decir que $p =0$, que no es primo. OK, por lo $n$ es compuesto. Vamos a probar con un pequeño prime, como $p = 2$. Necesito escribir $n = (n-2) k$. Bien, $4 = (4-2) 2$ parece funcionar. ¿Eh."

Así que se puede decir "hubo 4 bolas originalmente, en una caja lo suficientemente grande para contener 8 de ellos. La relación de volumen es de 2. Luego se quitó las 2 bolas (un número primo!) y tiene 2 pelotas en una caja que tiene un volumen de 8,. Que una proporción de 4, que es $2^2$. Se parece a una solución".

Pero hay otras soluciones? Parece probable. Por ejemplo

n = 6, p = 3, k = 2

parece funcionar igual de bien. En otras obras, el problema no parece tener una solución única. Así que no hay un "proceso" por el cual para llegar a la "solución".

Answer 4

$V$ es el volumen de la caja y $s$ es el volumen de cada bola. Entonces podemos escribir:

$\frac{ns}{V-ns}=\frac{1}{k} \to \frac{ns}{V}=\frac{1}{k+1}$

$\frac{(n-p)s}{V-(n-p)s}=\frac{1}{k^2} \to \frac{(n-p)s}{V}=\frac{1}{k^2+1}$

$\frac{n}{n-p}=\frac{k^2+1}{k+1} \to 1+\frac{p}{n-p}=k+1-\frac{2k}{k+1}$

$\frac{p}{n-p}=\frac{k^2-k}{k+1}$

$\frac{p}{n}=\frac{k^2-k}{k^2+1}$

si $gcd(n,p)=1$ $k(k-1)n=p(k^2+1)$ $k=ap$ o $k=ap+1$.

si $k=ap$ $n=\frac{(a^2p^2+1)}{a^2p-a}=p+\frac{pa+1}{a^2p-a}$ $\frac{pa+1}{a^2p-a} \geq 1$ $a+1 \geq a^2p-pa$ por lo tanto $a=1$ o $\frac{a+1}{a^2-a}\geq p$ que es imposible para$a>1$$a=1$$n=\frac{p^2+1}{p-1}=p+1\frac{2}{p-1}$, y es apenas natural al$p = 2$$n=5$$k=2$. o $p=3,n=5,k=3$

si $k=ap+1$$n=\frac{a^2p^2+2ap+2}{a^2 p+a}=p+\frac{ap+2}{a^2p+a}$$ap+2 \geq a^2p+a$, lo que es imposible para $a>1$, pero para $a=1$,$p+\frac{p+2}{p+1}=p+1+\frac{1}{p+1}$ no será un número natural por lo tanto debemos descartar este caso.

si $gcd(n,p)=p$ $\frac{1}{t}=\frac{k^2-k}{k^2+1} \to t=\frac{k^2+1}{k^2-k}$ que no puede ser un número natural por $k>1$, porque es estrictamente decreciente para $k>1$ $k=3$ es menor que 2 y para $t=2$ no es entero.

Tenga en cuenta que en el segundo caso $n$ no puede ser igual a $p$ porque no natural $k$, $k^2+1=k^2-k$.

Así que el resultado final es: $n=5,k=2,p=2$ o $n=5,k=3,p=3$