Encontrar el número de pares ordenados $(a,b)$ $\text{lcm}(a,b)=2^3 \cdot 3^5 \cdot 11^7 $

Question

Cuántos pares ordenados $(a,b)$ hay que $$\text{lcm}(a,b)=2^3 \cdot 3^5 \cdot 11^7 $ $

Intenté con un enfoque teórico número, pero no podía solucionarlo. Por otra parte, se dio en mi hoja de cálculo de la combinatoria, por lo que debe haber una aproximación combinatoria también.

Cualquier ayuda será apreciada.
Gracias.

Answer 1

Factorizar el primer $a=\prod p_i^{a_i}$ y $b=\prod p_i^{b_i}$, entonces $$\operatorname{lcm}(a,b)=\prod_i p_i^{\max(a_i,b_i)}=2^3\cdot 3^5\cdot 11^7.$$ By the fundamental theorem of arithmetic these are the same ("we can equate the exponents of the primes"), so $$2^{\max(a_1,b_1)}\cdot 3^{\max(a_2,b_2)}\cdot 11^{\max(a_3,b_3)}=2^3\cdot 3^5\cdot 11^7$$ $$\implies\max(a_1,b_1)=3\qquad\text{etc.}$% $ #%(a,b) de #% (este es un problema de combinatoria bastante fácil). Una vez más estamos justificados por el Teorema fundamental porque asegura que no tenemos multiplicidad de la respuesta.

Answer 2

Sugerencia:

Uno de $a$ y $b$ tienen 3 factores primeros 2, el otro tiene iguales o menos factores primeros 2.

Uno de $a$ y $b$ tienen 5 factores primeros 3, el otro tiene iguales o menos factores primeros 3.

Uno de $a$ $b$ tiene 7 factores primeros 11, el otro tiene iguales o menos factores primeros 11.

No existen otros factores primeras en ni $a$ ni $b$.