La secuencia de las lagunas primeras nunca es estrictamente monótona

Question

Tengo una pregunta con asignación que me pide para mostrar que la secuencia del primer lagunas nunca es estrictamente monótona. También me permitió asumir el Teorema de los números Primos.

Me las he arreglado para mostrar que no puede ser estrictamente decreciente considerando los números de $N!+2, N!+3,...,N!+N$ que obtiene arbitrariamente grande como $N\rightarrow\infty$.

Sin embargo, me parece que a no ser capaz de mostrar la estrictamente creciente bits. Tengo una idea pero no estoy seguro de si funciona y si se trata de un adecuado uso del Teorema de los números Primos.

Aquí está mi idea: Supongamos $\pi(n_0)=k$ $d(n)$ es estrictamente creciente $\forall n\geq n_0$. A continuación, consideramos que el escenario del "peor caso" ( $\pi_1$ ) de encontrar números primos en las lagunas $2,4,6,...$ después $n_0$, lo que significa que $n_0+2,n_0+2+4,n_0+2+4+6,...$ son los números primos.

Entonces lo que yo estoy diciendo es $\pi_1(n_0+q(q-1))=k+q-1$ a causa de la progresión aritmética. No sé si le puede dar a cualquiera de las comparaciones entre los $\pi(n)$ $\pi_1(n)$ pero yo también no ver si esta realidad conduce a nada. Si estoy totalmente fuera de la pista, voy a estar contento si alguien puede me apunte en la dirección correcta.

Me parece que no puede encontrar cualquier literatura con respecto a esto!

Answer 1

Según tus ides, allí no puede ser esencialmente más que primos de $q$ por debajo del $q^2$ (dar o tomar cosas de orden inferior como tu % de constantes $k$y $n_0$), es decir, $\pi(q^2 )<q$. $\pi(q^2)\approx \frac{q^2}{\ln q^2}=\frac q2\cdot \frac q{\ln q}\approx \frac q2\pi(q)$, Esto conduce a $\pi(q)<2$, que es absurdo. (Compruebe que caer términos de orden inferior fue de hecho permitido!)

Answer 2

Parece como si estás en una buena pista.

Supongamos que después de $p_n$, el % de huecos $d_n := p_{n+1} - p_n$están terminantemente aumentando, lo que seguramente el $d_{n+k} \geq k$. Podemos estimar $p_{n+k}$: $$p_{n+k} > d_{n+k-1} + \dots + d_{n} \geq (k-1) + (k-2) + \dots + 1 = \frac{k(k-1)}{2} \gg k^2.$ $

Pero esto es un problema, porque es $\pi(p_{n+k}) = n +k \ll k $ por un lado y en el otro $$\pi(p_{n+k}) \gg p_{n+k} / \log p_{n+k} \gg k^2/\log k.$ $ para convencerte que estas estimaciones no son compatibles.

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Por encima del $f(k) \ll g(k)$ está parado para "hay constantes $C$ y $k_0$ $f(k) \leq C g(k)$ $k \geq k_0$.

Tenga en cuenta que la función $x/\log x$ va en aumento, que se utiliza encima de.