¿Área de la intersección de dos discos: solución Integral?

Question

Aquí está el problema :

Se consideran dos círculos que se intersectan en exactamente dos puntos. No $O_1$ el centro de la primera y $r_1$ de su radio. No $O_2$ el centro de la segunda y $r_2$ de su radio. Tomamos nota de $d=O_1O_2$. Pregunta: Expresar el área de la intersección de los dos discos con las distancias $d$, $r_1$ y $r_2$.

Mi prueba :

Yo llame a $ A $ $ B $ de los puntos de intersección de los dos discos y $C$ es el punto de intersección de $d$ y $AB$ ($O_1C=x$).

He seleccionado un hito $\mathcal R (O, \vec e_x , \vec e_y )$ tal que $O_1$ se centra en $(0,0)$ $(d, 0)$ $O_2$

La ecuación de los dos círculos se $x^2+y^2=r_1^2$$(x-d)^2=y^2=r_2^2$.

Tenemos $x=\frac{d^2+r_1^2-r_2^2}{2d}$, $$y^2=r_1^2-x^2=r_1^2-\left(\frac{d^2+r_1^2-r_2^2}{2d}\right)^2$$

Escrito que $AB=2y$ tenemos $$AB=\frac{\sqrt{4d^2r_1^2-(d^2-r_2^2+r_1^2)^2}}{d}$$

Voy a calcular la mitad del área solicitada.

Denotar $\theta$ el ángulo de $AO_1B$. La mitad del área solicitada es :

$A_1$=Área (sector)$-$Área (triángulo isósceles $O_1$) =$$\frac{\pi r_1^2\theta}{2\pi}-\frac{1}{2}r_1^2\sin(\theta)$$

Además $$\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)=\frac{AB}{2r_1}=\frac{\sqrt{4d^2r_1^2-(d^2-r_2^2+r_1^2)^2}}{2dr_1}\qquad \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)=\frac{x}{r_1}$$

Por lo tanto, $$A_1=r_1^2\arccos\left(\frac{d^2-r_1^2+r_2^2}{2dr_1}\right)-\frac{(d^2-r_1^2+r_2^2)AB}{4d}$ $

El uso de $sin(x)=2\sin(\frac{x}2)\times \cos(\frac{x}2)$.

Después de algunos álgebra para calcular la petición que hemos $$A=r_1^2\arccos\left(\frac{d^2-r_1^2+r_2^2}{2dr_1}\right)+r_2^2\arccos\left(\frac{d^2-r_2^2+r_1^2}{2dr_2}\right)- \frac{\sqrt{Y}}{2} $$ donde $$Y=(-d+r_1+r_2)(d+r_2-r_1)(d-r_2+r_1)(d+r_1+r_2)$$

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Mi Pregunta: Podemos demostró este resultado con las integrales, por ejemplo ?

Answer 1

Definir el centro del primer círculo en $(0,0)$ y el de la segunda círculo en $(d,0)$. Las ecuaciones de los círculos son $y=\sqrt{r1^2- x^2}$ y $y=\sqrt{r2^2-(x-d)^2}$. En el segmento que conecta los dos centros de el primer y segundo círculo se cruzan el eje x en los puntos $(r1, 0)$ and $(d-r2, 0)$, respectivamente. A partir de las dos ecuaciones, se tiene también que el intesection puntos entre los dos círculos tienen un $x$-valor de $\displaystyle h=\frac {(d^2+r1^2-r2^2)}{2d}$. Entonces, para calcular el área de intersección $A$, tenemos que calcular las siguientes integrales:

$$A=\displaystyle 2\int_ {- d r2}^{h} \sqrt{r2^2-(x-d)^2} + 2\int_{h}^{r1} \sqrt{r1^2-x^2} $$

La primera integral indefinida es de $${(x-d)}\sqrt{r2^2-(x-d)^2} + r2^2 \bronceado^{-1}(\frac {x-d}{\sqrt{r2^2-(x-d)^2}})$$

que se calcula entre $(d-r2)$ $h$ da

$$(h-d)\sqrt{r2^2-(h-d)^2} + r2^2 \bronceado^{-1}(\frac {h-d}{\sqrt{r2^2-(h- d) ^2}}) +\frac {\pi}{2} r2^2 $$

La segunda integral indefinida es $$x\sqrt{r1^2-x^2} + r1^2 \bronceado^{-1} (\frac {x}{\sqrt{r1^2-x^2}})$$

que se calcula entre $h$ $r1$ da

$$-h\sqrt{r1^2-h^2} - r1^2 \bronceado^{-1}(\frac {h}{\sqrt{r1^2-h^2}})+ \frac {\pi}{2} r1^2$$

Sumando los dos resultados que se obtienen

$$A=(h-d)\sqrt{r2^2-(h-d)^2} + r2^2 \bronceado^{-1}(\frac {h-d}{\sqrt{r2^2-(h- d) ^2}}) +\frac {\pi}{2} r2^2 - h\sqrt{r1^2-h^2} - r1^2 \bronceado^{-1} (\frac {h}{\sqrt{r1^2-h^2}})+ \frac {\pi}{2} r1^2 $$

y sustituyendo $\displaystyle h=\frac {(d^2+r1^2-r2^2)}{2d}$ obtenemos

$$A=-\frac {d^2-r1^2+r2^2)}{2d}\sqrt{r2^2-(\frac {d^2-r1^2+r2^2}{2d}) ^2} - r2^2 \bronceado^{-1}(\frac {\frac {d^2-r1^2+r2^2)}{2d}}{\sqrt{r2^2- (\frac {d^2-r1^2+r2^2)}{2d})^2}}) +\frac {\pi}{2} r2^2 - \frac {d^2+r1^2-r2^2)}{2d} \sqrt{r1^2-(\frac {d^2+r1^2-r2^2}{2d})^2} - r1^2 \bronceado^{-1}(\frac {\frac {d^2+r1^2-r2^2)}{2d}}{\sqrt{r1^2-(\frac {d^2+r1^2-r2^2}{2d})^2}})+ \frac {\pi}{2} r1^2 $$

Ahora bien, si establecemos $\frac {d^2-r1^2+r2^2}{2d}=r2 \sin \alpha$, el denominador del primer término que contiene la arctan vuelve a ser igual $r2 \cos \alpha$. Entonces podemos sustituir todo el término con $\displaystyle r2^2\arcsin \frac {d^2-r1^2+r2^2}{2dr2}$. Del mismo modo, podemos seguir el mismo procedimiento para sustituir el segundo término que contiene la arctan con $\displaystyle r1^2\arcsin \frac {d^2+r1^2-r2^2}{2dr1}$.

Esto lleva a

$$A=-\frac {d^2-r1^2+r2^2)}{2d}\sqrt{r2^2-(\frac {d^2-r1^2+r2^2}{2d}) ^2} - r2^2\arcsin \frac {d^2-r1^2+r2^2}{2dr2} +\frac {\pi}{2} r2^2 - \frac {d^2+r1^2-r2^2)}{2d} \sqrt{r1^2-(\frac {d^2+r1^2-r2^2}{2d})^2} - r1^2\arcsin \frac {d^2+r1^2-r2^2}{2dr1} + \frac {\pi}{2} r1^2 $$

Movimiento más en los términos que contengan $\pi/2$ en aquellos que contienen el $\arcsin$ finalmente llegamos

$$A=-\frac {d^2-r1^2+r2^2)}{2d}\sqrt{r2^2-(\frac {d^2-r1^2+r2^2}{2d}) ^2} + r2^2\arccos \frac {d^2-r1^2+r2^2}{2dr2} - \frac {d^2+r1^2- r2^2)}{2d} \sqrt{r1^2-(\frac {d^2+r1^2-r2^2}{2d})^2} + r1^2\arccos \frac {d^2+r1^2-r2^2}{2dr1}$$