Evaluar

Question

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{4 n-3}+\frac{1}{4 n-1}-\frac{1}{2 n}\right) = \;?$$

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He estado tratando de ver si se puede escribir como suma de dos términos del telescopio pero parece complicado. ¿Alguna ayuda?

Answer 1

Sugerencia:

Podrían comparar la suma parcial $n=1$ $k$ $\frac11 -\frac12+\frac13 -\frac14+\cdots -\frac1{4k}$, que tiene un límite conocido.

Ha añadido:

Si lo hace, encontrará que la diferencia es $\left(\frac12-\frac14\right)+\left(\frac16-\frac18\right)+\cdots+\left(\frac1{4‌​k+2}-\frac1{4k}\right)$ % media $\frac11 -\frac12+\frac13 -\frac14+\cdots -\frac1{2k}$.

Así que el límite de la suma original es %#% $ #%

Answer 2

Sugerencia: La suma es un reordenamiento de los términos de la serie armónica alternante.

Se puede encontrar una serie de comparar plazo prudente? Tenga en cuenta que $-\frac{1}{2n} = - \frac{1}{4n} - \frac{1}{4n}$.

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Ya que todo el mundo es muy agitada en los comentarios, permítanme ser claro:

La suma converge. El cambio en sí es no es suficiente para probar esto, por supuesto, ya que la serie armónica converge condicionalmente. Sin embargo, mi sugerencia de que se trata de un reordenamiento fue insinuar la posibilidad de que podemos utilizar una comparación para demostrarlo.

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Solución completa

$ \sum \left( \frac{1}{4n-3} + \frac{1}{4n-1} - \frac{1}{4n} - \frac{1}{4n} \right) = \sum \left(\frac{1}{4n-3} - \frac{1}{4n-2} + \frac{1}{4n-1} - \frac{1}{4n}\right) + \sum \left( \frac{1}{4n-2} - \frac{1}{4n}\right).$

$= \ln 2 + \frac{1}{2} \sum \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n} \right) = \frac{3}{2} \ln 2.$

Answer 3

$$\sum\limits_{n=1}^k \left(\frac{1}{4 n-3}+\frac{1}{4 n-1}-\frac{1}{2 n}\right) =1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots-\frac{1}{2k} + \sum\limits_{n=k}^{2k-1} \frac{1}{2n+1}$$

¿Puede evaluar los límites de las dos series del lado derecho?