¿Cuál es la integral de $1/x$? ¿Tiene $\ln(x)$ o $\ln|x|$?
¿En general, integración de $f'(x)/f(x)$ da $\ln(f(x))$ o $\ln|f(x)|$?
Además, ¿qué es el derivado de $|f(x)|$? ¿Es $f'(x)$ o $|f'(x)|$?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Tienes $$\int {1\over x}{\rm d}x=\ln|x|+C$$ (Note that the "constant" $C $ might take different values for positive or negative $x$. Es realmente una función localmente constante.)
De la misma manera, $$\int {f'(x)\over f(x)}{\rm d}x=\ln|f(x)|+C$ $ el derivado de la última está dada por $${{\rm d}\over {\rm d}x}|f(x)|={\rm sgn}(f(x))f'(x)=\cases{f'(x) & if $f(x) > 0$ \cr -f'(x) & if $f(x) < 0 $}$ $
yep
Puntos
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Respuestas a la pregunta de la integral de 1 sobre x se basan en una suposición implícita de que los límites superior e inferior de la integral son ambos números reales positivos. Si permitimos que más generalidad, nos encontramos con una Paradoja interesante. Por ejemplo, supongamos que los límites de la integral son de-a a +a, donde a es un número positivo. Publicar respuesta en el plazo de ln daría ln(A) - ln(-A) = ln (/- A) = ln (-1) = i* Pi un número complejo --- bastante extraño. Ahora bien, si usted hace la misma integral de - a + infinito (es decir, A = infinito) el uso de El contorno de Integración, se obtiene i*2Pi, o el doble del valor anterior.
Si utiliza simple razonamiento, y también de integración numérica, esta integral para cualquier valor de Una ( siempre y cuando los límites son -a + a) es claramente 0. Así que uno debe ser cuidadoso en la evaluación real de las integrales con una singularidad de este tipo. Mismo se aplica a cualquier integrante de 1 sobre (x - k), donde k es cualquier constante real número) o
