Deje $a_0=1,a_n=\tan{a_{n-1}}$. A continuación, se $\{a_n\}_{n=0}^\infty$ denso en $\Bbb{R}$? He dibujado un mapa de este sistema dinámico y parece que la secuencia es denso en $\Bbb{R}$.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Antes de empezar, me gustaría señalar que no respondo a la pregunta específica. Creo que nadie puede con las herramientas actuales disponibles en matemáticas. Sin embargo, lo que les voy a dar una respuesta que está en el estado del arte. Y aquí viene la segunda descargo de responsabilidad: voy a convocar bastante reciente investigación (unos 15 años), con una riqueza de técnica de las definiciones y teoremas. Dando precisas pruebas tomaría un pequeño artículo, así que tendré que ser un poco incompleto para mantener las cosas en breve. La ventaja es que puedo llegar a ser muy preciso las proposiciones.
Para todos los $x \in \mathbb{R}$, podemos definir de forma recursiva $a_n (x)$ $a_0 (x) = x$ y $a_{n+1} (x) = \tan (x)$. No voy a ser capaz de decir nada acerca de la secuencia de $(a_n(1))_{n \geq 0}$, es por eso que no responder a su pregunta. Sin embargo, voy a ser capaz de decir bastante montón de cosas acerca de $(a_n(x))_{n \geq 0}$ para un Lebesgue-genérico número real $x$. A continuación, sólo tiene la esperanza de que $1$ tiene estas propiedades genéricas (no hay ninguna razón obvia de que no tiene). Esta restricción viene del hecho de que yo trabajo con un caótico sistema dinámico, que presentan la sensibilidad a las condiciones iniciales. Para este tipo de sistemas generalmente, usted puede trabajar un montón de propiedades genéricas, pero no se puede saber si el punto dado es, de hecho, genéricos o no (y de hecho hay un montón de no-genérico puntos y extraño potencial de conductas).
Podemos ver $(\mathbb{R}, \tan)$ como un sistema dinámico. Es bien definido hasta la una contables establecidas, que no importa en el siguiente desde un contables conjunto es insignificante para la medida de Lebesgue. La primera cosa a tener en cuenta es que el $\tan$ función es $\pi$-periódico. Por lo tanto, a la dinámica del sistema se va a la cociente. Deje $I := (-\pi/2, \pi/2)$, vamos a $\pi : \ \mathbb{R} \to I$ ser la reducción del modulo $\pi$, y vamos a:
\begin{equation*} T : \ \left\{ \begin{array}{lll} I & \to & I \\ x & \mapsto & \pi \circ \tan(x) \end{array} \right. . \end{ecuación*}
Entonces, para todos los $n \geq 0$,
\begin{equation*} a_{n+1} = \tan \circ T^n \circ \pi. \end{ecuación*}
Por lo tanto, la densidad de $(a_n(x))$ $\mathbb{R}$ es equivalente a la densidad de $T^n (x)$$I$. Podemos ir más allá, y se refieren a la equidistribución de $T^n (x)$ $I$ con el equidistribución de $(a_n(x))$ $\mathbb{R}$ (más sobre esto más adelante).
Ahora, sólo tenemos que estudiar el sistema de $(I, T)$. ¿A qué se parece? Aquí es su trama (cortesía de Wolfram Alpha):
Este sistema tiene unas buenas propiedades, y un par de no-tan-agradable propiedades. Se ha countably muchas ramas (no tan bonito), pero estas ramas son surjective, que garantizan la propiedad de Markov y una imagen grande de la propiedad (niza). Es seccionalmente $\mathcal{C}^2$, lo que asegura un almacén de distorsión de la propiedad. Por lo tanto, el hecho de que se ha countably muchas ramas es manejable. A primera vista, se comparten una gran cantidad de propiedades con el mapa de Gauss $x \to \{1/x\}$, que ha sido estudiado a fondo:
Ahora, $T$ tiene un verdadero no-tan-agradable propiedad. Nos gusta que nuestros mapas de la expansión, es decir, que $\inf |T'| > 1$: que nos positiva de los exponentes de Lyapunov positivo de la entropía y el caos en cualquier sentido de la palabra. El mapa de Gauss se está expandiendo en todas partes, excepto en $1$, donde su derivada es $-1$. Pero eso no es un problema difícil; se puede comprobar que si recorrer el mapa de Gauss, lo que está en expansión. Para $T$, sin embargo, el problema es más grave: la derivada en $0$$1$, pero $0$ es un punto fijo. Por lo tanto, $(T^n)' (0) = 1$ para todos los $n$. Un punto que aterriza cerca de $0$ será finalmente repelido (que es debido a $|\tan (x) > x|$ no-cero $x$), pero que puede tomar un montón de tiempo. De hecho, la órbita pasan la mayor parte de su tiempo cerca de cero. Esta es una ampliación de un mapa con una posición neutral de punto fijo, y pertenece a una clase de sistemas dinámicos que ha sido estudió en la duración, en los últimos veinte años.
Los fenómenos que surgen son de aproximadamente la misma que para uno de los Liverani-Saussol-Vaienti mapas [LSV] con un parámetro de $\alpha = 2$:
\begin{equation*} T_2 : \ \left\{ \begin{array}{lll} (0,1] & \to & (0,1] \\ x & \mapsto & \left\{ \begin{array}{lll} x(1+4x^2) & \text{ if } & x \in (0,1/2],\\ 2x-1 & \text{ if } & x \in (1/2,1] \end{array}\right. \end{array} \right. . \end{ecuación*}
La elección del parámetro $\alpha = 2$ es debido al hecho de que $T_2 (x) = x + 4x^3 + o(x^3)$$0$, como $T (x) = x + x^3/3 + o(x^3)$$0$: la de segundo orden, los términos son del mismo orden.
Una manera de estudiar estas LSV mapas, o $T$ es inducir el sistema alejado de la neutralidad de punto fijo (en este caso $0$). Por ejemplo, deje $A := (-\pi/2, -\pi/4) \cup (\pi/4, \pi/2)$ donde $-\pi/4$ $\pi/4$ son elegidos como los puntos finales de la rama de $T$ contiene $0$. Deje $\varphi(x) := \inf_{n > 0} \{ T^n (x) \in A\}$, y deje $T_A (x) := T^{\varphi (x)} (x)$. Al mirar detenidamente lo que sucede a su alrededor $0$ (puntos son repelidos), se puede demostrar que $\varphi (x) < + \infty$ para todos, pero countably muchos $x$. Por lo tanto, $T_A$ está bien definido en casi todas partes. Finalmente, $T_A$ está en expansión. Teniendo en cuenta la propiedad de Markov, las grandes propiedades de la imagen y la limitada distorsión de la propiedad, $(A, T_A)$ puede ser dotado de una Gibbs-Markov estructura (ver [A], Capítulo 4, y en particular las Secciones 4.7 para las definiciones y 4.8 para una aplicación intervalo de mapas).
A continuación, podemos mostrar que el $T_A$ tiene un único absolutamente continua de probabilidad invariante medida, con respecto a las cuales se ergodic y de mezcla (literatura dice que tiene un número finito de componentes ergodic de positivo de la medida de Lebesgue, y el surjectivity de las ramas de $T$ da la transitividad y aperiodicity, de ahí la mezcla), y que tiene soporte completo. En particular, para casi todos los $x \in A$, la órbita $(T_A^n (x))_{n \geq 0}$ es equidistributed (para este invariante de la medida), y por lo tanto densa.
El mapa de $(I, T)$ puede entonces ser visto como un Rokhlin torre de $(A, T_A)$ de la altura de la $\varphi$. Esto ya es suficiente para demostrar que casi todos los $x \in I$ ha densa órbitas en $I$, y así que $(a_n (x))_{n \geq 0}$ es denso en $\mathbb{R}$ de Lebesgue-casi todos los $x$. Pero podemos ir más allá!
El uso de [LSV], podemos ver que la transformación de $(I, T)$, hasta positivo multiplicativo constante, un único positivo $\sigma$-finito de medida $\mu$ $T$- invariante y absolutamente continua con respecto para la medida de Lebesgue. Su densidad tiene un seccionalmente continua en la versión $g$, que se apartó de $0$, y de tal manera que $g(x) = \Theta (x^{-2})$$0$. El sistema dinámico $(I, T, \mu)$ es ergodic. La medida de $\mu$ es isomorfo al natural invariante en la medida en la Rokhlin torre de $A$; pero la altura de la torre tiene una infinidad de media (debido a que las trayectorias de pasar un montón de tiempo para alejarse de $0$), por lo que la medida de $\mu$ es infinito.
A continuación, $\nu := \tan_* \mu$ $\sigma$- finito medida en $\mathbb{R}$ $\tan$- invariante. También tiene un seccionalmente continua de la densidad de $h$, tal que $h(x) = \Theta (x^{-2})$ $0$ $h(x) \sim c x^{-2}$ $\pm \infty$ algunos $c > 0$, y que satisface la ecuación funcional:
\begin{equation*} \sum_{n \in \mathbb{Z}} h (\arctan (x) + n \pi) = (1+x^2) h(x). \end{ecuación*}
Para terminar con esta respuesta, aquí están algunas consecuencias.
Densidad: para casi todas las $x \in \mathbb{R}$, la secuencia de $(a_n (x))_{n \geq 0}$ es denso en $\mathbb{R}$.
Trayectorias pasan la mayor parte de su tiempo cerca de la $0$: para casi todas las $x \in \mathbb{R}$, para cualquier vecindad $B$$0$,
\begin{equation*} \lim_{n \to + \infty} \frac{\# \{0 \leq k < n : \ a_k (x) \in B\}}{n} = 1. \end{ecuación*}
- Hora Local: hay una constante $C$ tal que para todo medible $B$ apartó de $0$, para toda probabilidad, medida $\mathbb{P}$ absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue en $\mathbb{R}$,
\begin{equation*} \lim_{n \to + \infty} \frac{\# \{0 \leq k < n : \ a_k \in B\}}{\sqrt{n}} = C \int_B h(t) \ dt \cdot |\mathcal{N}|, \end{ecuación*}
donde $\mathcal{N}$ es una variable aleatoria Gaussiana de la varianza $\pi/2$, y la convergencia en distribución en $(\mathbb{R}, \mathbb{P})$. Esto viene de [A], Corolario 3.7.3. Esto nos dice más o menos que acerca de $1/\sqrt{n}$ de la $(a_k (x))_{0 \leq k < n}$ será en cualquier subconjunto acotado de distancia de cero, con un importante la variación estocástica. Que puede hacer para agradable experimentos numéricos, yo así lo deseas: calcular $\# \{0 \leq k < n : \ |a_k| (x) > N \}/\sqrt{n}$ fijo de un gran $n$ y muchos valores aleatorios de $x$ (a fin de obtener un aproximación estadística de su distribución), y mira lo que pasa cuando dejas $N$ crecer.
- Es probable que (a mi conocimiento, este resultado no es en la literatura, pero creo que no es tan difícil demostrar) que una típica trayectoria de $(\# \{0 \leq k < N : \ a_k (x) \in B\})_{n \geq 0}$ se comportan en gran escala, como los de un típico trayectoria de la hora local de un $1$-dimensional simple paseo aleatorio.
Podemos tener la esperanza de que tales propiedades se cumplen para $(a_n (1))_{n \geq 0}$.
[A] J. Aaronson, Una introducción a infinito ergodic theory, Matemática Encuestas y Monografías, Vol.50, De La Sociedad Matemática Americana, 1997.
[LSV] C. Liverani, B. Saussol y S. Vaienti, Un enfoque probabilístico para intermitencia, Ergodic Teoría y Sistemas Dinámicos 19 (1999), 671--685, disponible aquí.
