¿Cuáles son las razones para dejar el término de energía disipativa fuera del Hamiltoniano al escribir la función de Lyapunov?

Question

Tengo un problema con una de mis preguntas de estudio para un examen oral:

El hamiltoniano de un sistema mecánico no lineal, es decir, la suma de las energías cinética y potencial, se utiliza a menudo como función de Lyapunov para controlar la posición y la velocidad del sistema. Consideremos un sistema amortiguado de un solo grado de libertad, $m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=0$ , donde $m$ es la masa, $c$ es la amortiguación proporcional a la velocidad y $k$ es la rigidez. Una función de Lyapunov candidata es el Hamiltoniano $V=\frac{1}{2}m\dot{x}^2+\frac{1}{2}kx^2$ . ¿Cuáles son las razones para omitir el término de energía disipativa al escribir la función de Lyapunov?

Lo único que se me ocurre para esta pregunta es que un término de energía disipativa en la función de Lyapunov tendría un signo "-" y la función de Lyapunov dejaría de ser positiva definida. ¿Es eso correcto?

Answer 1

1) En presencia de fricción, la ecuación de Lagrange se modifica

$$\tag{1} \frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)-\frac{\partial L}{\partial x}~=~ -\frac{\partial{\cal F} }{\partial \dot{x}}$$

por el Función de disipación de Rayleigh

$$\tag{2} {\cal F}~: =~ \frac{1}{2} c\dot{x}^2 ~\geq ~0 . $$

Aquí el Lagrangiano es

$$\tag{3} L~:=~T-V, \qquad T~:=~\frac{1}{2} m\dot{x}^2~\geq ~0, \qquad V~:=~\frac{1}{2} kx^2~\geq ~0. $$

No es posible escribir un potencial dependiente de la velocidad para la fuerza de fricción, y una descripción lagrangiana (o hamiltoniana) del oscilador amortiguado debe ser modificada a la (1) para acomodar el término de fricción, cf. e.g. este y este Mensajes de Phys.SE.

2) La función de energía

$$\tag{4} h(x,\dot{x})~:=~ \dot{x} \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}-L ~=~T+V~\geq ~0 $$

es precisamente el energía mecánica del sistema.

Se puede demostrar que la tasa de disipación de energía está dada por la función de disipación de Rayleigh

$$\tag{5} \frac{dh}{dt}~=~-2{\cal F} ~\stackrel{(2)}{\leq} ~0. $$

La semidefinida positiva (4) de $h$ y la semidefinida negativa (5) de la derivada temporal $\frac{dh}{dt}$ son algunas de las condiciones que se suelen exigir a un Función de Lyapunov y no es difícil ver que la energía mecánica $h$ es de hecho una función de Lyapunov para el oscilador amortiguado.

Por otro lado, no está claro cómo incluir ${\cal F}$ en la función de Lyapunov, por las razones explicadas anteriormente.

Referencias:

1. Herbert Goldstein, Mecánica clásica, Capítulo 1 y 2.

Answer 2

No estoy muy seguro de lo que significa "término de energía disipativa", pero sí sé que no se puede añadir nada proporcional a $\dot{x}$ . Para ver por qué, basta con tomar un punto cercano al $(x, \dot{x})=(0,0)$ punto. En las proximidades de este punto el $\dot{x}$ término dominará sobre $\dot{x}^2$ y el punto $(0,\epsilon)$ o $(0,-\epsilon)$ daría un valor negativo.