¿Dado un número del tipo $10^{20}!$, lo que se puede, en una cantidad razonable de tiempo, averiguar sobre él? Puedo calcular hacia fuera ¿cuántos dígitos tiene, o lo que es el primer dígito? Me encontré con aproximación de Striling, pero no soy consciente de una manera realista para calcular algo elevado a la n donde n = $10^{20}$
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Matthew Scouten
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Específicamente, para grandes $x$, $$\ln(x!) = (\ln(x)-1) x + \frac{1}{2} \ln(x)+\frac{1}{2} \ln(2\pi)+\frac{1}{12 x}-\frac{1}{360x^3}+\frac{1}{1260 x^5}-\frac{1}{1680 x^7} + \frac{t}{1188 x^9}$$ for some $ t \in (0,1) $. For $x = 10 ^ {20} $, the uncertainty in the number (if calculated with a few hundred digits of precision) is about $ 10 ^ {-183} $. El resultado es que podemos decir ha $(10^{20})!$
$$1956570551809674817246$$
dígitos decimales, de los cuales son los 100 primeros
$$1932849514310097712837014080536242806874079839409160617974884639778977403427259721535932189240606200...$$
Stirling aproximación es muy preciso, por grandes cantidades, por lo que el número de dígitos de la parte entera de
$$\log \left( \sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n \right) = n ( \log n - \log e) + \log \sqrt{2 \pi} + \frac{1}{2} \log n$$
donde $n = 10^{20}$. El líder plazo en el de arriba es $n \log n = 20 \cdot 10^{20} = 2 \cdot 10^{21}$, y dentro de lo razonable equipo método de alta precisión de la aritmética le dirá el resto de los dígitos bastante fácil si se quiere.
El primer dígito puede calcularse con el primer dígito de $10^f$ donde $f$ es la parte fraccionaria de los de arriba. De nuevo, esto es relativamente fácil de hacer con cualquier razonable equipo método de alta precisión de la aritmética (que no tengo acceso en el momento, por desgracia, no puedo averiguar cómo llegar a WolframAlpha para hacer este cálculo). Por computación más dígitos de $f$ puede calcular más dígitos iniciales (hasta la precisión de la fórmula de Stirling).
Si usted realmente necesita para hacer esto, vale la pena señalar que existen condiciones adicionales puede incluir en la fórmula de Stirling para más exactitud.
