Conectividad de un mapa y la secuencia de tiempo exacta de los grupos de homotopía

Question

Deje $f:X\to Y$ ser un mapa entre conectada CW complejos y $k\geq 0$ un entero. Estoy confundido por la definición de $k$-conectividad o más fundamentalmente, por lo que induce una larga secuencia exacta de homotopy grupos.

Mi favorito definición de $k$-conectividad es este: $f$ se llama $k$-conectados si la homotopy fibra $F$ $f$ $k-1$conectados, lo que significa que $\pi_i(F)=0$ todos los $i$$0\leq i\leq k-1$. Por supuesto, esta definición sólo es razonable para la conexión de los espacios de $X$$Y$.

Yo sé que para $F\to X\to Y$, hay una larga secuencia exacta \begin{equation} \ldots\to\pi_i(F)\to\pi_i(X)\to\pi_i(Y)\to\ldots\to \pi_0(X)\to\pi_0(Y) \end{equation} por los argumentos sobre la homotopy fibra $F$. Me gusta definir la relación homotopy grupos $\pi_i(Y,A)$ $\pi_{i-1}(F)$ y se obtiene a partir de la anterior largo de la secuencia exacta de una larga secuencia exacta de la relación homotopy grupos.

Ahora la Wikipedia define para una inclusión $f:X\hookrightarrow Y$ $k$- conectado, si su homotopy cofiber $C$ (= asignación de cono) es $n$conectados, lo que significa que $\pi_i(C)=0$ todos los $i$$0\leq i\leq k$. Aún peor para mí, el mismo artículo de la Wikipedia afirma una larga secuencia exacta \begin{equation}(*)\hspace{10ex} \pi_i(X)\to\pi_i(Y)\to \pi_i(C) \end{equation} (sin embargo, esto es prolongada a la izquierda y a la derecha).

Mi pregunta principal es: ¿Cómo las dos definiciones de $k$-conectividad se relacionan?

Tal vez, sin embargo, mi problema de la comprensión comienza incluso antes: ¿Cómo $\pi_i(C)$ $\pi_i(Y,X)$ (a partir de la definición anterior) se relacionan?

Yo era capaz de mostrar que, para la conectividad \begin{equation} conn(F)+1=conn(C) \end{equation} tiene para conectarse $X$$Y$. Esto significa, que para simplemente se conecta $X$$Y$, las dos definiciones de $k$-conectividad de $f$ coinciden si realmente hay una secuencia exacta (*). Pero ¿qué sucede cuando $X$ $Y$ no son simplemente conectado, pero solo conectado?

Answer 1

La Wikipedia la definición de (en el momento de la escritura) no es correcta, en el sentido de que no es equivalente a la condición habitual en la relación homotopy grupos (o el homotopy grupos de la fibra) a menos que usted asuma que una simple conectividad.

He aquí un ejemplo. Es un ejemplo de un CW-inclusión $A \to X$ que es un isomorfismo en $\pi_1$ y en la homología, pero que no es surjective en $\pi_2$. Si usted cree que un mapa de $f$ existe entonces puede saltarse la continuación de la construcción, debido a que la asignación de cono $Cf$ es simplemente conectado y ha trivial homología de grupos, de modo que por el teorema de Hurewicz y el teorema de Whitehead es contráctiles; sin embargo, el mapa de $f$ no $2$-conectado.

Deje $W = S^1 \vee S^2$, cuya cobertura universal es una copia de $\mathbb{R}$ con una copia de $S^2$ conectado en cada número entero. El grupo fundamental de la $W$$\mathbb{Z}$, y voy a llamar el generador de $t$; actúa sobre la cobertura universal de la traducción por $1$. El Hurewicz mapa de $\pi_2(W) \to H_2(W) = \mathbb{Z}$ es un "colapso" obtenido mediante el establecimiento $t=1$.

La segunda homotopy grupo $\pi_2(W)$ es isomorfo al grupo $\mathbb{Z}[t^{\pm 1}]$ como un grupo actuó por el grupo fundamental. Deje $\alpha:S^2 \to W$ ser un mapa cuya imagen en este grupo es $t-2$. A continuación, podemos formar un espacio $$ X = W \cup_{\alpha} e^3 $$ formado por pegar un 3-celda con la fijación de mapa de $\alpha$. Hay una inclusión de $S^1 \subset W \subset X$.

A partir de este punto, necesito algunos cálculos.

• La primera parte del cálculo es que el mapa de $S^1 \to X$ es un isomorfismo en la homología de grupos; de esta manera se sigue calculando celular homología, porque el mapa $\alpha$ es un isomorfismo en $H_2$.
• La segunda parte del cálculo es que los mapas de $S^1 \to W \to X$ son todos isomorphisms en $\pi_1$.
• La tercera parte del cálculo es que la segunda homotopy grupo de $X$ es el cokernel del mapa $$ x \mapsto (t-2)x: \mathbb{Z}[t^{\pm 1}] \to \mathbb{Z}[t^{\pm 1}]. $$ Este grupo es isomorfo a $\mathbb{Z}[1/2]$. Probablemente la forma más directa es tomar la universalización de la cobertura de $X$, la cual está constituida por la universalización de la cobertura de $W$ y pegado en un $\mathbb{Z}$ el valor de las copias de $D^3$ a lo largo de la traduce de $\alpha$.

Como resultado, el mapa de $\pi_2 S^1 \to \pi_2 X$ es el mapa $0 \to \mathbb{Z}[1/2]$, y para el segundo relativo homotopy grupo es distinto de cero.

Answer 2

Lo he comprobado en una serie de fuentes y no puedo encontrar ninguna referencia a la homotopy cofiber cuando se habla de $n$-conectividad. Aquí es un buen resumen

1) Un espacio de es $n$-conectados si $\pi_k X = 0$ $k \le n$

2) Un par de $(X,A)$ $n$- conectados si $\pi_k(X,A)=0$ $k \le n$

3)Un mapa de $f:X \to Y$ $n$- conectado si el par $(M_f,X)$ $n$- conectado, donde $M_f$ es la asignación de cilindro.

Uno puede mostrar a continuación, utilizando la larga secuencia exacta de un par, eso implica que a $\pi_k(A) \simeq \pi_k(X)$ $k < n$ $\pi_n(A) \to \pi_n(X)$ es surjective.

Answer 3

Esperemos que no he hecho ningún poste del cerco errores a continuación:

Por el Blakers-Massey teorema, si el mapa de $X \to Y$ $n-$conectado y $X \to *$ $m-$conectado (alternativamente, $X$$(m-1)$ -), entonces el pushout cuadrado formado por $* \gets X \to Y$ $(m+n-1)$- cartesiano, lo que significa que el mapa de $X$ a la homotopy retroceso de $* \to C \gets Y$ $(m+n-1)$-conectado.

Si $F$ es el homotopy de fibra de $X \to Y$ (suponga que Y es puntiagudo y conectado de manera que esto tiene sentido), entonces el cuadrado de $(F \to *) \to (X \to Y)$ es un homotopy retirada de la plaza y así es $\infty$-cartesiano.

Sentados estos cuadrados en la cima de uno a otro, vemos el cuadrado de $(F \to *) \to (* \to C)$ $(m+n-1)$- cartesiano, y así el mapa de $F \to \Omega C$ $m+n-1$- conectado.

Alternativamente, el mapa de $\pi_k(F) \to \pi_{k+1}(C)$ va a ser un isomorfismo para $k \le m+n-2$, y un surjection para $k = m+n-1$.