Probar: $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\tan^{-1}e^{-\pi x}}{\cosh\frac{3x\zeta(2)}{20}} dx = 10$

Question

Quiero resolver la siguiente integral:

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\tan^{-1}e^{-\pi x}}{\cosh\frac{3x\zeta(2)}{20}} dx = 10$$

No he probado aún, pero puede ser difícil. Todo lo que sé es que ζ(2) es π2/6. No sé qué hacer. Cualquier ayuda se agradece. Gracias!

Answer 1

Considere la integral $$\begin{align} I(a,b)&=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\arctan e^{-ax}}{\cosh b x}dx=\\ &=\int_{0}^{\infty}\frac{\arctan e^{-ax}}{\cosh b x}dx+\int_{0}^{\infty}\frac{\arctan e^{ax}}{\cosh b x}dx=\\ &=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{\cosh b x}=\\ &=\frac{\pi}{4b}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{\cosh x}=\\ &=\frac{\pi^2}{4b}. \end{align}$$ Ahora establezca $\displaystyle b=\frac{3\zeta(2)}{20}=\frac{\pi^2}{40}$.