Comprender el significado real de "raíz cuadrada".

Question

Así que siempre nos dijeron en la escuela que la raíz cuadrada de un número es el número que usted necesita a la plaza para volver a ese número.

yo.e $\sqrt{4}=2$ porque $2^2=4$

Bien, como usted, a continuación, obtener más invloved en matemáticas también se dan cuenta de que $(-2)^2=4$. Eso hace que $\sqrt{4}=-2$ también? Si es así, ¿por qué? y si no, ¿por qué no?

Answer 1

Eso hace que $\sqrt{4}=-2$ también? Si es así, ¿por qué? y si no, ¿por qué no?

Si usted resolver un $\color{blue}{\mathrm{equation}}$ que contiene una variable desconocida decir $x$; tales como: $$x^2=4$$ Then the equation has solutions given by $x=2$ and $x=-2$.

Pero si usted acaba de dar el $\color{red}{\mathrm{expression}}$: $$\sqrt{4}$$ then the expression can only reduce to $2$ (Not $-2$).

Por lo que el número de soluciones realmente simplifica si el radical en cuestión pertenece a una $\color{blue}{\mathrm{equation}}$ o $\color{red}{\mathrm{expression}}$; donde este último sólo va a tomar el principio de la raíz.

Answer 2

La respuesta es un poco más complicado de lo que pudiera parecer, el problema se encuentra con bijection. Para una correcta inversa que no se dan conjuntos de elementos cuando se de entrada de un solo elemento de la función debe ser bijective. La función $$f(x)=x^2$$ sin embargo no es bijective, que es la causa de entre el número real que no es ni surjective ni inyectiva. No es inyectiva porque $(-2)^2=2^2$$-2\neq 2$. No es surjective porque $x^2=-1$ no existe entre los números reales. Este problema, sin embargo, sólo aparece si tratamos de tener $f:R\to R$, si restringimos nuestra función de $f:R_+\to R_+$ entonces se convierte en bijective porque es inyectiva, y surjective.

Ahora podemos hacer una adecuada inverso $f^{-1}(a)$ que usualmente escribimos $\sqrt{a}$ en lugar de ello, es por lo tanto sólo se va a los números reales positivos.

Sin embargo, uno debe prestar atención a que si bien la función/inverso sólo va a los números reales positivos, la solución a $x^2=a$ $x=\pm \sqrt{a}$ do a los anteriores, de la razón, que le da un conjunto (dos respuestas)

Answer 3

Observe la diferencia entre las dos frases: "LA raíz cuadrada de $4$" versos "Una raíz cuadrada de $4$". Puede que no parezca mucho, pero, estas dos frases que tienen significado diferente.

El uso del artículo definido "el" presupone la singularidad de las raíces cuadradas; el uso del artículo indefinido "un" no tiene ningún tipo de presupuesto.

Cuando alguien habla acerca de "la raíz cuadrada de $4$", uno debería objeto de que las raíces cuadradas no son únicos! El número de $4$ tiene dos de ellos, $-2$$+2$.

Hay un par de maneras de evitar esto, como las otras respuestas explicar, por ejemplo, uno puede tratar de utilizar un lenguaje más preciso, tales como "el principio de valor de la raíz cuadrada de $4$".

La lección general es que desconfíe de los enunciados matemáticos con los artículos definidos, y ser conscientes de lo oculto de las presuposiciones de la singularidad de tales declaraciones.