Como es cierto que podemos construir todos los números racionales $\Bbb Q$ a partir del conjunto de los números enteros $\Bbb Z$, es posible construir el conjunto de los números reales $\Bbb R$$\Bbb Q$? Si sí, ¿cómo? ¿Hay algún procedimiento? Y si no, ¿hay alguna prueba de que nosotros no podemos ? Gracias!
Respuestas
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Considere el siguiente conjunto de números racionales:
$S =\{x \in \Bbb{Q}:x < 0, \text{ or } x^2 < 2\}$
Este conjunto está claramente delimitado por encima de, por ejemplo, $2$ es un límite superior. La cosa es que el conjunto no tiene racional menos el límite superior. De hecho, me parece que puede llegar a ser muy buena idea de "lo grande" menos límite superior tendría que ser: si la llamamos "$x$", se puede ver que: $1.4 < x < 1.5$, por ejemplo.
Así, la idea general es la de capturar todas las "magnitudes" que los números racionales pueden aproximado, pero nunca llegó "exactamente". Hay un par de maneras diferentes de hacer esto: Dedekind cortes, Cauchy y secuencias de "infinitos decimales" siendo el más popular. Todos estos están diseñados para hacer una cosa: asegúrese de que al menos límites superiores de las series como $S$ siempre existen (equivalentemente: asegúrese de que (racional) secuencias de Cauchy converge "para algo").
Este proceso se llama "realización", y puede ser pensado como "llenar los vacíos" en los racionales (así obtenemos un continuum). Es, en el corazón de la misma, un topológico de la construcción, y la necesidad de no quedar claro hasta que uno comienza a investigar la continuidad. Para el álgebra (es decir, la resolución de ecuaciones polinómicas con coeficientes racionales), números algebraicos sería suficiente (las cosas que involucran cuadrado, cubo y la n-ésima raíces, y similares), pero el análisis de las funciones requiere a menudo se obtiene una estimación de que "el tamaño de algo". Intuitivamente, queremos que tales "tamaños" para ser de buena fe con los números, que podemos manipular de acuerdo a los familiares de las normas que aprender temprano en la vida (es decir, queremos un orden de campo, al menos).
Así que, sí, hay varias de esas construcciones...lo que es fascinante es que cada construcción que nos da "el mismo objeto" (sólo los nombres han cambiado, para proteger a los inocentes). Esto justifica los números reales que se llama "EL" completa ordenó campo (aunque para ser 100% correcto, uno debe decir "completa de arquímedes ordenó campo", porque hay completa ordenó campos que no son (isomorfo a) los números reales, tales como la hyperreals).
runeh
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1304
Los números reales también pueden ser construidos a partir de los racionales a través de Secuencias de Cauchy.
Michael Betancourt
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66
Para completar la lista de Spivak, también podemos definir los reales 'naif' como decimal infinita de las secuencias, pero esto es esencialmente escoger un elemento representativo de una clase de equivalencia de secuencias de Cauchy.
(por ejemplo, $\pi$ debe ser el límite de la secuencia 3, 3.1, 3.14, 3.141, ...)
Lena
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6
El conjunto de los números reales es la completa ordenó campo que contiene los racionales, la cual es única hasta isomorfismo y de hecho cada número real se define como el conjunto de los racionales satisfacer ciertas propiedades llamadas Dedekind Cortes. Véase también el link @anon publicado.
