¿Este ejemplo fallar la CLT?

Question

Deje $X_i, i \in \mathbb{N}$ ser independiente de las variables aleatorias con $E[X_i] = \mu_i$$\mathrm{var}(X_i) = \sigma_i^2 < \infty$.
Definir $S_n := \sum_{i=1}^{n} X_{i}$, e $s_n := \sqrt{\sum_{i=1}^{n} \sigma_{i}^2}$ . Bajo los supuestos anteriores, los siguientes son dos grupos diferentes de condiciones suficientes para $$ \frac{ S_n - \sum_{i=1}^n\mu_i}{s_n} \to N(0,1) \text{ in distribution}.$$

1. Lindeberg CLT de Wikipedia

   $$\text{Lindeberg condition: }\forall \epsilon >0, \quad \lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{i=1}^{n} \mathrm{E} [(X_{i} - \mu_{i})^2 I_{\{|X_{i} - \mu_{i}| > \epsilon s_n\}} ] }{s_n^2} = 0.$$

2. Teorema D. 19 de William Greene del Análisis Econométrico (p112 de su apéndice D archivo o Teorema 11 en p14 de esta nota )

   $$\text{Feller-Levy condition: } \lim_{n\to\infty} \frac{\max_{i=1,\dots,n}\sigma_i^2}{s_n^2} = 0$$ $$\text{name-unknown condition: }\lim_{n\to\infty} \frac{s_n^2}{n} < \infty$$

   Nota:

   • He cambiado la notación un poco.

   • En el libro, en lugar de $\frac{\max_{i=1,\dots,n}\sigma_i^2}{s_n^2}$, escribe $ \frac{\max_{i=1,\dots,n}\sigma_i}{\sqrt{n} s_n}$. Se dice que esto es un error tipográfico, y debería ser $ \frac{\max_{i=1,\dots,n}\sigma_i}{ s_n}$. Y $ \frac{\max_{i=1,\dots,n}\sigma_i}{ s_n}$ converge a lo finito, si y sólo si $ \frac{\max_{i=1,\dots,n}\sigma_i^2}{s_n^2}$ converge a lo finito. (Nota: he cambiado la notación un poco.)

   • El autor dijo Feller (1968) Introducción a la Teoría de la Probabilidad y Sus Aplicaciones fue la fuente original de ese resultado. Sé que tiene dos volúmenes, y después de algunas búsquedas, no he encontrado esta versión de CLT en volumen. Me pregunto si me estoy perdiendo algo? (Como una nota del lado, en Talador de 1968 Introducción a la Teoría de la Probabilidad y Sus Aplicaciones, Volumen 1, aunque el "nombre desconoce la condición de" no aparece para CLT, parece por la Ley del Gran Número (ver página 254 de la fórmula (5.5)). A la derecha de abajo es de Lindeberg condición para Lindeberg CLT, que hace que me pregunte si el "nombre desconoce la condición de" en Greene del Teorema de D. 19 es una errata?)

Aquí está un ejemplo de Robert Isreal la anterior respuesta, lo que parece indicar que algo podría estar mal en el segundo, el de Greene. Deje $X_i$ estar independiente con $$P(X_i = 2^i) = P(X_i = -2^i) = 2^{-2i-1}, P(X_i = 0) = 1 - 2^{-2i}.$$ Thus $\mu_i = 0$ and $\sigma_i^2 = 1$.

1. Ya que $$P(S_n = 0) > P(X_i = 0 \text{ para todo }i) > 1 - \sum_{i=1}^\infty 2^{-2i} = 2/3,$$ it shows directly that $S_n/s_n$ no vaya a $N(0,1)$ en distribución. La distribución normal tiene $P(Z=0)=0$.
2. El Lindeberg condición en la Wikipedia no está satisfecho con el ejemplo (tome $ϵ=1$ ejemplo). Por lo que no es concluyente que $S_n/s_n$ debe o no debe converger a $N(0,1)$ en distribución.
3. Las dos condiciones en Greene están satisfechos, ya que $s_n^2 = n$. Así $S_n/s_n$ debe converge a $N(0,1)$ en distribución.

Así, el resultado de Greene no es coherente con los resultados de otras maneras. Me pregunto qué ha ido mal? Gracias!

Answer 1

Un poco demasiado largo para un comentario. Esto se siente nada menos que de una conspiración. En primer lugar, me cogí un ejemplar de Greene de la Econometría y el resultado no es $\lim_{n\rightarrow\infty}\max_i\frac{\sigma_i}{n\bar{\sigma}_n}=0$, donde se define el $\bar{\sigma}_n^2=\frac{1}{n}(\sigma_1^2+\ldots+\sigma_n^2)$ además $\bar{\sigma}^2=\lim_{n\rightarrow\infty}\bar{\sigma}_n^2$, lo que no coincide con sus notas de la conferencia, donde veo que la condición se $\max_{i}\frac{\sigma_i^2}{n\bar{\sigma}^2_n}\rightarrow 0$. Sin embargo, todavía creo que esto es totalmente falso, independientemente de cuya condición es correcta, Greene o sus apuntes de clase.

Permítanme llamar Lindberg Feller Condición '(L)', llame a $\lim_{n\rightarrow\infty} \sigma_k^2/s_n^2=0$ '(F) " y la declaración "el teorema del límite central sostiene" como " (CLT)'. Tenemos que $(L)\Leftrightarrow (CLT)\ and\ (F) $. (F) aquí es el llamado "Feller Condición." Normalmente, uno ha $(L)\Rightarrow (CLT)\ and \ (F)$, pero el punto es que (CLT) NO implica (L), a menos que también tenemos (F), o viceversa, que (F) no solo implica (L).

Yo sé que hay algo que se llama la Hajek Sirlak Teorema que dice que si $X_i$ son yo.yo.d. con media cero y varianza $\sigma^2$ $S_n=a_1X_1+\ldots+a_nX_n$ converge sobre la normalización de una distribución normal si la condición $\max_{i\leq n} a_i/\sqrt{\sum_i^n a_i^2}\rightarrow 0$ mantiene. El problema es que creo que necesita el yo.yo.d. condición de mantener.