Suave adecuado esquema sobre Z

Question

Cada suave adecuado de morfismos $X \to \operatorname{Spec} \mathbf{Z}$ $X$ no vacío tiene una sección?

EDITAR [Bjorn dio información adicional en un comentario más abajo, que estoy copiar aquí. -- Pete L. Clark]

Aquí hay algunos casos especiales, de acuerdo a la dimensión relacionada $d$. Si $d=0$, una respuesta positiva de la siguiente manera a partir del teorema de Minkowski que cada trivial finito extensión de $\mathbf{Q}$ ramifies en al menos uno de los prime. Si $d=1$, es una consecuencia (a través de tomar el Jacobiano) del teorema de Abrashkin y Fontaine, que no es distinto de cero abelian esquema sobre $\mathbf{Z}$, junto con (para el género $0$ de los casos) el hecho de que un álgebra de cuaterniones $\mathbf{Q}$ split en cada lugar finito es trivial.

Answer 1

Hey Bjorn. Permítanme tratar de un contraejemplo. Considere la posibilidad de una hipersuperficie en proyectivos $N$-espacio, definido por un grado 2 ecuación con coeficientes enteros. Cuando es un gadget de lisa? Así las derivadas parciales son todos lineales y tenemos $N+1$ de ellos, por lo que queremos algo de $(N+1)$ veces $(N+1)$ matriz a no es cero el determinante de mod $p$ todos los $p$, así que queremos que el determinante de a se +-1. El factor determinante de que estamos tomando es la de una matriz simétrica, incluso con las entradas de abajo de la diagonal (debido a que la derivada de $X^2$$2X$) y por el contrario cada simétrica entero de la matriz, incluso con las entradas de abajo de la diagonal viene de un proyectiva, quadric hipersuperficie. Por lo tanto, no estamos ahora en busca de un resultado positivo-definida (para evitar que haya alguna Q-puntos o R-puntos), incluso unimodular de celosía?

Así que, en conclusión creo que la hipersuperficie corta por la forma cuadrática asociada de esta manera, por ejemplo, el $E_8$ celosía o la Sanguijuela de celosía da un contraejemplo!