Creación de partículas por una fuente como se explica en QFT in a Nutshell de A. Zee

Question

Para la teoría libre $$W[J]=-\frac{1}{2}\int\int d^4x d^4y J(x)D(x-y)J(y)\tag{1}.$$ Introducción a la transformada de Fourier, $J(x)\equiv \int d^4k e^{+ik\cdot x}\tilde{J}(k)$ obtenemos, $$W[J]=-\frac{1}{2}\int \frac{d^4k}{(2\pi)^4} \tilde{J}(k)^*\frac{1}{k^2-m^2+i\epsilon}\tilde{J}(k)\tag{2}$$ con una fuente real $J(x)$ tal que $\tilde{J}(-k)=\tilde{J}(k)^*$ .

$J(x)$ es arbitrario y, por lo tanto, podemos elegir $J(x)=J_1(x)+J_2(x)$ donde $J_1$ y $J_2$ se concentran en dos regiones locales, como se muestra en la figura 1.4.1 del libro de A. Zee, QFT in a Nutshell. $W[J]$ contendrá 4 términos de la forma $\tilde{J}_1(k)^*\tilde{J}_1(k), \tilde{J}_2(k)^*\tilde{J}_2(k), \tilde{J}_1(k)^*\tilde{J}_2(k)$ y $\tilde{J}_2(k)^*\tilde{J}_1(k)$ .

Zee considera el cuarto término en $W[J]$ es decir, $$W[J]_{\text{fourth term}}=-\frac{1}{2}\int \frac{d^4k}{(2\pi)^4} \tilde{J}_2(k)^*\frac{1}{k^2-m^2+i\epsilon}\tilde{J}_1(k).\tag{3}$$ A continuación, Zee explica (página 24, debajo de la ecuación (3))

Vemos que $W[J]$ es grande sólo si $J_1(x)$ y $J_2(x)$ se solapan significativamente en su transformada de Fourier y si la región de solapamiento en el espacio del momento $k^2-m^2$ casi desaparece. Hay un pico "tipo resonancia" en $k^2=m^2$ .

1. ¿Qué se entiende por solapamiento significativo de las transformadas de Fourier de $J_1(x)$ y $J_2(x)$ ?

2. Entiendo que hay un pico "tipo resonancia" porque hay un polo en $k=\pm m$ . Pero, ¿por qué el solapamiento debe ser significativo para conseguir un " pico de resonancia "?

3. $W[J]$ no es una cantidad física. Es el funcional generador de los diagramas de Feynman conectados. Entonces, ¿por qué un valor grande de $W[J]$ ¿se puede interpretar como la creación de una partícula?

4. ¿Podemos hacer que la interpretación de Zee sea más rigurosa y a la vez intuitiva?

Answer 1

En primer lugar, piense en un fuente ser como una antena de radio (después de todo, es una fuente de campos electromagnéticos). Una antena que puede emitir bien también puede absorber bien . Así que $J(x)$ puede modelar tanto una fuente como un sumidero, cada uno con un cierto perfil espacial. En la configuración de Zee, esa combinación de fuente y sumidero se modela como $J(x)$ con un perfil espacial ampliado.

Cuando Zee se separa $J \equiv J_A + J_B$ se puede pensar en ellas como dos antenas A y B. Los términos cruzados como $J_A^* J_B$ corresponde a A que emite y B que absorbe y los términos propios/diagonales como $J_A^* J_A$ corresponden a una antena que interactúa con su propio patrón de radiación. Si se puede tener en cuenta de forma autoconsistente la autointeracción en la determinación del diagrama de radiación de la antena, entonces la física de la comunicación está esencialmente en los términos cruzados.

La primera expresión que has escrito explica que $\mathcal{W}[J]$ es una suma sobre todas las formas posibles en las que una partícula es emitida en un punto y es absorbida en el otro punto---por eso la fuente y el sumidero están "contraídos con" el propagador, en el lenguaje de los diagramas de Feynman. Ahora puedes entender por qué esto mide la tasa del proceso de creación-transmisión-absorción de partículas.

Es fundamental que la fuente y el sumidero no tengan un solapamiento espacial significativo para transmitir ondas/partículas/campos (¡si no, no podríamos utilizar los campos EM para comunicarnos a largas distancias!) Sin embargo, ¡es mejor que el emisor y el receptor compartan las mismas frecuencias! De lo contrario, el receptor (sumidero) sólo absorberá una fracción muy pequeña de la potencia de la señal enviada por el emisor (fuente). Por eso nos gustaría $J_1(k)$ y $J_2(k)$ para tener un solapamiento significativo en el espacio de frecuencias. Además, no sólo hay que tener un solapamiento significativo entre los espectros de la fuente y del sumidero, sino que el medio debe transmitir de forma no disipativa las frecuencias relevantes. La resonancia en los modos de campo $\phi(k)$ es donde la propagación se produce mejor (en el medio del fondo del campo), con la menor disipación. En la teoría de campos, esto se denomina "sobre la partícula de la cáscara (masa)" y corresponde básicamente a las ondas EM con las que estamos acostumbrados a tratar.

En resumen, básicamente, si quieres transmitir y recibir una frecuencia concreta de forma efectiva, entonces te gustaría que tu emisor y tu receptor resuenen en una frecuencia que el medio soporte bien.

Answer 2

Puedo responder a tus dos primeras preguntas, que es cierto que no son las más importantes, pero tal vez esto ayude por ahora.

1. El solapamiento sólo significa que ambas funciones son distintas de cero en una región similar de $k$ -espacio. Supongamos que dondequiera que $J_1(k)$ es distinto de cero $J_2(k)$ es cero y viceversa; entonces la integral sería cero. Por otro lado, si en alguna región ambas funciones tienen una amplitud significativa, su producto se integrará en algún número moderadamente alto.

2. El pico de resonancia es una propiedad de la función $1/(k^2-m^2)$ No tiene nada que ver con el solapamiento en sí. Sin embargo, volvamos a la respuesta 1: supongamos que $J_1(k)$ y $J_2(k)$ se superponen en alguna región en la que $k^2-m^2$ es muy grande. En este caso la integral no será muy grande porque $1/(k^2-m^2)$ es pequeño. Si quieres una integral grande necesitas las tres funciones ( $J_1(k)$ , $J_2(k)$ y $1/(k^2-m^2)$ ) para ser grande en la misma región.

No sé muy bien cómo responder a la 3 y a la 4. De hecho, comparto su confusión, ya que después de todo $W$ va en un exponencial, por lo que sólo nos importa su valor módulo $2\pi$ . Yo diría que si lees a Zee, acostúmbrate a esto. No todo está demostrado de forma rigurosa; a menudo sólo habla de la imagen intuitiva sin mostrar realmente que las matemáticas se corresponden con eso. Mi consejo es que sigas leyendo sin obsesionarte con los detalles, y luego leas un libro más detallado y vuelvas a Zee más tarde; las cosas tendrán más sentido.

Answer 3

Para responder a las dos últimas preguntas, es más fácil no pensar en términos de $W[J]$ directamente, sino en términos de su primera derivada $$ \frac{\delta W}{\delta J(x)}=\langle \phi(x)\rangle = -\int_y D(x-y)J(y). $$ Utilizando el operador inverso de $D(x)$ , $\square^2+m^2$ se obtiene $$ (\square^2+m^2)\langle \phi(x)\rangle = J(x), $$ que parece una ecuación de onda para el (promedio del) campo, en presencia de un término de fuente $J(x)$ . Compárese, por ejemplo, con la ecuación de Maxwell del potencial vectorial en presencia de una fuente.

Por otro lado, $W[J]=\int_{x,y}\langle \phi(y)\rangle(\square^2+m^2)\langle \phi(x)\rangle$ está relacionada con la energía del sistema en presencia de la fuente, que será grande sólo si las fuentes están lo suficientemente cerca (del orden de $m^{-1}$ ), que es la condición de "resonancia".