Cómo determinar el rango y el determinante de a $A$?

Question

deje $A$ $$A_{a} = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 & 1\\ 1 & 1 & a & 1\\ 1 & 1 & 1 & a \end{pmatrix}$$ ¿Cómo puedo calcular el rango de $A$ por el de Gauss methode y $\det A$?

Answer 1

$\det A_{a} =\det \begin{pmatrix} a & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 & 1\\ 1 & 1 & a & 1\\ 1 & 1 & 1 & a \end{pmatrix}$

Agregar todas las columnas a la 1ª columna tenemos,

$\det A_{a} = \det \begin{pmatrix} a+1+1+1 & 1 & 1 & 1 \\ a+1+1+1 & a & 1 & 1\\ a+1+1+1 & 1 & a & 1\\ a+1+1+1 & 1 & 1 & a \end{pmatrix}$

Tomando $a+1+1+1$ común a partir de la fila 1 tenemos,

$\det A_{a} = (a+1+1+1)\det \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 & 1\\ 1 & 1 & a & 1\\ 1 & 1 & 1 & a \end{pmatrix}$

Ahora resta la 1ª fila de la 2ª fila 1 de la tercera y así sucesivamente para llegar

$\det A_{a} = (a+1+1+1)\det \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & a & 1 & 1\\ 0 & 1 & a & 1\\ 0 & 1 & 1 & a \end{pmatrix}$

Ahora va a ser fácil.

Después de encontrar el determinante de Una averiguar los valores de a para los que el determinante es $0$.Para aquellos valores de encontrar el rango de la matriz señalando el número de independientes de la fila de $A$ lo contrario, el rango es $4$.

Answer 2

Sabemos que esta matriz es equivalente a $$B=\begin{pmatrix}a&0&0&1-a\\1&a-1&0&0\\1&1-a&a-1&0\\1&0&1-a&a-1\end{pmatrix}$$

y $$\det(B)=a(a-1)^3-(1-a)((1-a)^2-(a-1)((1-a)-(a-1))=(a-3)(a-1)^3$$ and $\texto{rango}(A)=4$ for all values of $un$ except $1$ and $3$.

Answer 3

Observe que $A_a= J+aI_4$ con $$J= \left( \begin{matrix} 1&1&1&1 \\ 1&1&1&1 \\ 1&1&1&1 \\ 1&1&1&1 \\ 1&1&1&1 \end{matrix} \right)$$ Let $P_J(X)$ be the characteristic polynomial of $J$, then $\det(A_a)=P_J(1-a)$. Al darse cuenta de:

$$\left( \begin{matrix} 1&1&1&1 \\ 1&1&1&1 \\ 1&1&1&1 \\ 1&1&1&1 \\ 1&1&1&1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \end{matrix} \right)= \left( \begin{matrix} 1&1&1&1 \\ 1&1&1&1 \\ 1&1&1&1 \\ 1&1&1&1 \\ 1&1&1&1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -1 \\ -1 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 1&1&1&1 \\ 1&1&1&1 \\ 1&1&1&1 \\ 1&1&1&1 \\ 1&1&1&1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 \\-1 \\ -1 \\ 1 \end{matrix} \right)=0$$

y

$$\left( \begin{matrix} 1&1&1&1 \\ 1&1&1&1 \\ 1&1&1&1 \\ 1&1&1&1 \\ 1&1&1&1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right)= 4 \left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right)$$

podemos deducir que $P_J(X)=X^3(X-4)$, por lo tanto $\det(A_a)=-(1-a)^3(a+3)$. Debido a $A_a$ es trigonalizable $\mathbb{C}$, podemos deducir que:

• Si $a \neq 1$ y $a \neq -3$, $\mathrm{rank}(A_a)=4$,
• Si $a=1$, $\mathrm{rank}(A_a)=1$,
• Si $a=-3$, $\mathrm{rank}(A_a)=3$.