Pregunta sobre el espacio vectorial normado.

Question

Esta es la definición de espacio vectorial normado que utiliza mi libro:

Y aquí hay un comentario que no entiendo:

No entiendo que una secuencia pueda converger a un vector en una norma y no en la otra. Por ejemplo: Digamos que $s_n$ converge a $u$ con el $\|\|_1$ -normas. De la definición 4.5.2 (i) debemos tener que $s_n$ se acerca cada vez más a $u$ . ¿Por qué puede fracasar en la otra norma, cuando puede llegar a ser tan cercana como queramos en la primera norma? ¿Hay algún ejemplo sencillo de este fenómeno?

PD: Sé que dicen que veremos ejemplos de esto más adelante en el libro, pero lo que viene después es demasiado difícil de entender para mí ahora.

Answer 1

Considere la siguiente secuencia de elementos en el espacio $V$ de secuencias finitas: $$ u_1=(1,0,0,\ldots),\ \ u_2=(0,\frac12,0,\ldots),\ \ u_3=(0,0,\frac13,0,\ldots) $$ Entonces $$ \sum_{k=1}^nu_k=(1,\frac12,\frac13,\ldots,\frac1n,0,\ldots) $$ Consideremos ahora estas dos normas sobre $u=(a_1,a_2,\ldots)$ : $$ \|u\|_1=\sum_{k=1}^\infty|a_k|,\ \ \ \|u\|_2=\left(\sum_{k=1}^\infty|a_k|^2\right)^{1/2} $$ Entonces, para el $u_n$ definida anteriormente, $$ \left\|\sum_{k=M}^nu_k\right\|_1=\sum_{k=M}^N\frac1k,\ \ \ \left\|\sum_{k=M}^Nu_k\right\|_2=\sum_{k=M}^N\frac1{k^2} $$ Así, en $\|\cdot\|_1$ , las colas de la serie $\sum_{k=1}^\infty u_k$ son ilimitadas, lo que significa que la serie diverge; mientras que en $\|\cdot\|_2$ las colas van a cero, por lo que la serie converge.

Answer 2

Puedes tener problemas si la convergencia no es absoluta, es decir $$\sum_n \|x_n\| = +\infty$$ pero $$\lim_{N\to\infty} \sum_{n\le N} x_n $$ existe.