Infinitamente diferenciable

Question

¿Cómo se puede saber si una función $f$ es infinitamente diferenciable?

Answer 1

Si una función es infinitamente diferenciable, entonces una de las 3 cosas es cierta, respecto a la secuencia $S$ que consiste en 1. $f$ 2. la derivada de $f$ 3. la derivada de la derivada de $f$ y así sucesivamente. (Si f es infinitamente diferenciable, S es infinito, y viceversa).

1. No hay repetición.
2. La secuencia se repite: uno de sus elementos es una función G, que es su propia derivada. (Así, S acaba siendo G una y otra vez para siempre.
3. La secuencia se repite - contiene una secuencia de elementos consecutivos C, tal que la derivada del último elemento de C es el primer elemento de C. Así, S acaba siendo simplemente C una y otra vez para siempre. (3. es una generalización de 2.)

$2.$ o $3.$ son propiedades algo útiles - si probamos la secuencia $S$ los tiene, $S$ es infinito, y $f$ es infinitamente diferenciable.

2. Sea $f$ sea $x$ . Entonces $S$ es $x$ , $1$ , $0$ , $0$ , $...$

Dado que la derivada de $0$ es $0$ , $S$ es infinito, y $f$ es infinitamente diferenciable.

3. Sea $f$ sea $sin(x)$ . Entonces $S$ es $sin(x), cos(x), -sin(x), -cos(x), sin(x), cos(x)$$ , -sin(x), -cos(x), ...$

Como la derivada de -cos(x) es sin(x), S no es más que las mismas 4 funciones una y otra vez, para siempre. Como $S$ es infinito $f$ es infinitamente diferenciable.