¿Diferenciándolo un número infinito de veces?
Pero en serio, eso es lo que se hace. Sólo que normalmente puedes inferir cuáles serán las derivadas de orden superior, para no tener que calcularlas una por una.
Ejemplo Para ver que $\sin(x)$ es infinitamente diferenciable, se realiza lo siguiente: $\frac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x)$ y $\frac{d}{dx} \cos(x) = -\sin(x)$ . Así que ya ves que $(\frac{d}{dx})^4\sin(x) = \sin(x)$ , por lo que las derivadas son periódicas. Por tanto, por continuidad de $\sin(x)$ y sus tres primeras derivadas, $\sin(x)$ debe ser infinitamente diferenciable.
Ejemplo Para ver que $(1 + x^2)^{-1}$ es infinitamente diferenciable, te das cuenta de que $\frac{d}{dx}(1+x^2)^{-n} = -2n x (1+x^2)^{-n-1}$ . Por tanto, por inducción se tiene la siguiente afirmación: todas las derivadas de $(1+x^2)^{-1}$ puede escribirse como un polinomio en $x$ multiplicado por $(1 +x^2)^{-1}$ a algún poder. Entonces puedes usar el hecho de que (a) las funciones polinómicas son continuas y (b) los cocientes de las funciones polinómicas son continuos lejos de donde el denominador desaparece para concluir que todas las derivadas son continuas.
La filosofía general en el trabajo es que para mostrar que todas las derivadas están acotadas y son continuas, se puede aprovechar algún tipo de relación recursiva entre las diversas derivadas para dar inductivamente una forma general de las derivadas. Entonces se reduce el problema a demostrar que todas las funciones de esa forma general son continuas.
Debo añadir que la mayoría de las "funciones especiales" cotidianas son, de hecho, soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias. Por lo tanto, para esas funciones especiales (como $\ln$ , $\sin$ , $\exp$ etc.) la relación recursiva entre las derivadas te viene casi dada por definición.
Una última observación: utilizando las propiedades fundamentales de la derivada, las sumas finitas, las diferencias finitas y los productos finitos de funciones infinitamente diferenciables van a ser todos suaves. El cociente de dos funciones suaves será suave cuando el denominador desaparezca. Así que también puedes descomponer una expresión en sus partes componentes y comprobarlas una a una.
Dependiendo de cómo se dé su función, eso puede ser muy fácil o muy difícil. Para las funciones dadas por expresiones en forma cerrada, puedes intentar derivar una fórmula general para la $n$ -derivada. Por ejemplo, de esta manera se puede demostrar que todos los polinomios son suaves (=infinitamente diferenciables), también lo son las funciones sin, cos y exponenciales y cualquier concatenación, producto y suma de funciones suaves es suave.
A menudo, tendrás que trabajar con la derivada real como límite y diferenciar hasta que encuentres un punto no suave o alguna forma cerrada que reconozcas, tal vez alguna periodicidad (es decir, para que algunos $n$ -derivada es igual a algún $m$ -la derivada, como en el caso de las funciones trigonométricas) o tienes que ponerte muy listo.
No existe una receta mágica para saber si una función es infinitamente diferenciable, o incluso una vez diferenciable, o incluso continua. Realmente depende de la propia función. Por supuesto, hay afirmaciones muy generales y triviales, como que todos los polinomios son infinitamente diferenciables, etc.
Como señala Willie Wong, es la única manera de hacerlo. Por cierto $\sin{x},\cos{x}$ son ejemplos de funciones infinitamente diferenciables, y el ejemplo más famoso es la función $f(x)=e^{x}$ . Esta función es infinitamente diferenciable y su derivada, es $e^{x}$ . Para ver esto:
\begin{align*} e^{x} = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} + \cdots \\ \frac{\textrm{d}} {\textrm{dx}}e^{x} = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} + \cdots \end{align*}
para las funciones:
Cada función analítica es infinitamente diferenciable.
Cada función polinómica es analítica.
Cada Función elemental es analítica en casi todas partes. Supongo que esto es válido también para el Funciones de Liubliana .
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para los términos de la función:
El conjunto de los términos de las funciones elementales es cerrado en cuanto a la diferenciación.
El conjunto de los términos de las funciones de Liouvillian es cerrado en cuanto a la diferenciación.
Si $n_1,n_2\in\mathbb{N}_0$ , $n_1\ne n_2$ , $f\colon z\mapsto f(z)$ y
$$\frac{d^{n_1}}{dz^{n_1}}f(z)=\frac{d^{n_2}}{dz^{n_2}}f(z),$$
entonces $f(z)$ es infinitamente diferenciable.
Existen algunas reglas generales de diferenciación para calcular $n$ -a derivadas, por ejemplo, regla del factor superior, regla de la suma superior, regla del producto superior, regla de la cadena superior.
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Una función con un término de función infinitamente diferenciable es infinitamente diferenciable si cada uno de sus $n$ -ésima derivada es diferenciable.
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