Cuando estudié análisis complejo, nunca pude entender cómo una vez-diferenciable funciones complejas que podría ser posiblemente ser infinitamente diferenciable. Después de todo, este no es para las funciones de$\mathbb R ^2$$\mathbb R ^2$. ¿Alguien puede explicar qué es diferente acerca de los números complejos?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Como Akhil menciona, la palabra clave es elíptica regularidad. Como yo no sé nada acerca de esto, permítanme decir que algunos de los de bajo nivel de las cosas y tal vez va a tener sentido para usted.
Una función derivable $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ puede ser considerado como una función que se comporta localmente como una función lineal $f(x) = ax + b$. Así que, a muy grandes rasgos, se trata de una colección de pequeños vectores que se encajan. Estos pequeños vectores pueden, sin embargo, encajan en una manera muy errática. Eso es porque desde que usted sólo tiene que adaptarse a un vector a los dos vectores que son sus vecinos, hay un montón de espacio para la mala conducta.
Una función derivable $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ ha de satisfacer de un modo mucho más estricto requisito: a nivel local, se tiene que comportarse como una función lineal $f(z) = az + b$ donde $z, a, b$ son complejas, que es una rotación (y la escala, y la traducción). Así que, a muy grandes rasgos, se trata de una colección de pequeñas rotaciones que se encajan. Ahora una rotación tiene un continuo de los vecinos de que preocuparse, y se hace mucho más difícil para un comportamiento errático a persistir.
Shawn Miller
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La existencia de un complejo derivado significa que localmente una función sólo puede rotar y ampliar. Es decir, en el límite, los discos se asignan a los discos. Esta rigidez es lo que hace que una compleja función derivable infinitamente diferenciable, y aún más, analítica.
Para un complejo derivado de existir, tiene que existir y tiene el mismo valor para todas las formas de la "h" plazo pueden llegar a cero en $\frac {(f(z+h) - f(z))}{h}$. En particular, h podría acercarse a 0 a lo largo de cualquier radial camino, y es por eso que una analítica de la función debe asignar discos a discos en los límites.
Por el contrario, un ser infinitamente diferenciable en función de dos variables reales podrían asignar un disco de la elipse, se extiende más en una dirección que en otra. Una analítica de la función no puede hacer eso.
Un suave función de dos variables también podría voltear un disco más, como $f(x, y) = (x, -y)$. Una analítica de la función no puede hacer eso. Por eso compleja conjugación no es una analítica de la función.
Alya
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Cuando uno utiliza el plano complejo para representar el conjunto de los números complejos ${\bf C}$,
$z=x+iy$
se ve tan similar hasta el punto de $(x,y)$${\bf R}^2$.
Sin embargo, hay una diferencia entre ellos que no es obvio. La transformación lineal en ${\bf R}^2$, puede ser representado por una $2\times 2$ de la matriz mientras se elige una base en la ${\bf R}^2$, y a la inversa, los $2\times 2$ matriz se puede definir una transformación lineal mediante la multiplicación de la matriz $A(x,y)^{T}$.
Por otro lado, la transformación lineal en $\bf C$ es poco diferente. Deje $f:{\bf C}\to{\bf C}$ donde $f(z)=pz$, $p \in{\bf C}$. Si uno escribe $p=a+ib$$z=x+iy$, esta transformación puede ser escrito como
$$ \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\ \begin{bmatrix} a &-b\\ a &b \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} $$
cuando uno ve como en el plano complejo. Por lo tanto, no todas las matrices que se puede definir una transformación lineal $f:\bf C\to C$.
La derivada, la cual puede ser considerada como una "transformación lineal", es también diferente para $f:{\bf R}^2\to {\bf R}^2$$f:\bf C\to C$. En el caso real
$$ f \left( \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} f_1(x,y)\\ f_2(x,y) \end{bmatrix} $$
$f_1$ $f_2$ son "independientes" para el bien de la $f$ ser diferenciable.
Mientras que en el caso complejo, $f_1$ $f_2$ tiene que satisfacer los Cauchy-Riemann ecuaciones.
Edit: La relación entre el $f:{\bf R}^2\to{\bf R}^2$ $f:{\bf C}\to{\bf C}$ también se discute aquí.
Kevin Dente
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Las pruebas que he visto derivar esto como un corolario de Cauchy de la integral de la fórmula. Mira la diferencia cociente como una integral, jugar con ella, y se obtiene que converge a lo que se obtendría si se diferenciadas bajo el signo integral.
Tenga en cuenta que desde armónica de funciones cumplen también con una similar de la ecuación integral, son también infinitamente diferenciable de la misma manera (esto sigue también, ya que son partes reales e imaginarias de holomorphic funciones).
Sven
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En una intuición de nivel:
Los números complejos son algo equivalente a $\mathbb R^2$ (homeomórficos a un $2$-dimensiones del espacio real), en el otro lado son también una $1$-dimensional espacio complejo. Esto les da un extra de estructura con consecuencias como la de este teorema.
Otro punto de vista sobre esto es que diferenciable complejas funciones que debe cumplir también con los de Cauchy-Riemann ecuaciones y este extra hipótesis es lo que los hace holomorphic.
