Cancelación de Producto Directo en Grp

Question

Estoy pensando para el famoso problema de la cancelación de la propiedad en fibra de vidrio, yo.e: $$G_1 \times G_2 \cong G_1 \times G_3 \Rightarrow G_2 \cong G_3.$$ Claramente hay muchos contraejemplos como $\prod_{i \in \omega}\mathbb{Z}_i$ o $\oplus_{i \in \omega}\mathbb{Z}_i$, pero estos contraejemplos puede ser evitado por dar una definición.

Decimos que un grupo G es $\Pi$-compacto iff $$G \cong \prod_{i\in I}G_i, \ G_i \neq \{e\} \ \Rightarrow |I| < \infty.$$

Decimos que un grupo G es $\Sigma$-compacto iff $$G \cong \oplus_{i\in I}G_i, \ G_i \neq \{e\} \ \Rightarrow |I| < \infty.$$

Podemos decir que un grupo es $\times$-compacto iff es $\Pi$ $\Sigma$ compacto.

He estado trabajando en muchas conjeturas y con Seirios' ayudar a muchos de ellos han sido resueltos. Voy a tick ($\checkmark$) ha demostrado unos y rechazar ($\neg$) falso.

$$(1)\ \ \ \ \ \ \ \ G_1,G_2 \times\text{-compact} \Rightarrow G_1 \times G_2 \times\text{-compact}$$ $$\checkmark \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ G \text{ finitely generated} \Rightarrow G \times\text{-compact}$$ $$\neg \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ H <G, G \times\text{-compact} \Rightarrow H \times\text{-compact}$$

$$\neg \ \ H \triangleleft G, \ \ \ \ H,G \times\text{-compact} \Rightarrow G/H \times\text{-compact}$$ $$\neg \ \ \ \ \ G \times\text{-compact} \Rightarrow \text{cancellation property holds}.$$

Lo que es claramente cierto es que: grupos finitos se $\times$-compacto (y he visto en la web que la cancelación de la propiedad tiene para ellos), simple grupos se $\times$-compacto, libre de grupos se $\times$-compacto. La aplicación de $(3) \wedge (4)$ libre de grupos podemos obtener (2) sino $(3) \wedge (4)$ tiene que ser falso, ya que cualquier grupo es cociente de un grupo libre. $$\neg ( (3) \wedge (4)).$$ Como Seirios ha observado para los contables de los grupos tiene que $\times$-compacto $\Leftrightarrow$ $\Sigma$-compacto. De nuevo Seirios señaló, aquí se demuestra que la cancelación no es cierto para finitely presentado los grupos, de modo que si (2) es verdadera (5) es falso.

$$(2) \Rightarrow \neg (5)$$

Seirios demostrado (2) aquí.

Un esbozo de la prueba de (1). Supongamos que $G_1 \times G_2$ no $\times$-compacto. Por lo $G_1 \times G_2 \cong \prod_{i\in \nu}P_i$. Vamos a llamar a $\pi_1$ proyección en primera coordenada. Por lo $G_1\cong \pi_1 (G_1 \times G_2) \cong \pi_1(\prod P_i) \cong \prod (\pi_1 P_i)$, por lo que un número finito de $P_i$ no $\{0\} \times G_2$. Mismo argumento que en el otro lado lugar a absurdo $\square.$ Es esto correcto?

Tengo un contraejemplo para (4). Consideremos $G:=*_{i \in \omega}\mathbb{Z}_i$ Ya que es libre es $\times$-compacto. Su conmutador [G,G] es $\times$-compacto pero cociente $$G/[G,G] \cong \oplus_{i \in \omega} \mathbb{Z}$$ which is not $\veces$-compacto. $$\neg (4) .$$

Desde esta $$(2) \Rightarrow \neg (3).$$

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Noticias: Ninguno.

Answer 1

Reivindicación 1: Cualquier contables de grupo es $\Pi$-compacto.

Si $\{G_i : i \in I \}$ es una colección infinita de no trivial grupos, usted puede encontrar un inyectiva mapa $$\{0,1\}^{\mathbb{N}} \hookrightarrow \prod\limits_{i \in I} G_i,$$ so the product $\prod\limits_{i \in I} G_i$ has cardinality at least $2^{\aleph_0}$. This proves that any countable group is $\Pi$-compact. However, clearly cancellation property does not hold for countable groups: $$\mathbb{Z} \times \bigoplus\limits_{i \geq 0} \mathbb{Z} \simeq \bigoplus\limits_{i \geq 0} \mathbb{Z} \simeq \{1\} \times \bigoplus\limits_{i \geq 0} \mathbb{Z}.$$

Reivindicación 2: Cualquier finitely generado grupo es $\Sigma$-compacto.

Deje $\{G_i : i \in I \}$ ser una colección infinita de no trivial grupos. Supongamos por contradicción que $\bigoplus\limits_{i \in I} G_i$ es finitely generado. Deje $\{s_1,\ldots,s_r\}$ ser un número finito de generación del sistema. Ahora, para cada una de las $s_k$ existe $I_k \subset I$ tal que $I \backslash I_k$ es finito y $(s_k)_i=0$ todos los $i \in I_k$. Por lo tanto, si $g \in \bigoplus\limits_{i \in I} G_i$, podemos escribir $g$ como producto de la $s_k$'s y llegamos a la conclusión de que $g_i=0$ todos los $i \in J:= \bigcap\limits_{k =1}^n I_k$: es una contradicción ya que el $J$ es necesariamente infinita.

Conclusión: Cualquier finitely generado grupo es $\times$-compacto.

Sin embargo, como he mencionado antes, la cancelación de los bienes no retiene incluso para finitely-presentan grupos (ver aquí).